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SDCalc

공식 및 방법론

표준편차 뒤에 있는 수학을 깊이 탐구합니다.

수학적 유도

표준편차는 데이터 포인트가 평균으로부터 얼마나 분산되어 있는지를 측정합니다. 평균으로부터의 편차 제곱의 평균에 대한 제곱근을 계산하여 유도됩니다.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1모든 값을 합산하고 개수로 나누어 평균(μ 또는 x̄)을 계산합니다.
  2. 2각 데이터 포인트에서 평균을 빼서 편차(xᵢ − μ)를 구합니다.
  3. 3음수 값을 제거하기 위해 각 편차를 제곱합니다 (xᵢ − μ)².
  4. 4모든 제곱 편차를 합산합니다: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5N(모집단) 또는 n−1(표본)로 나누어 분산을 구합니다.
  6. 6분산의 제곱근을 취하여 표준편차를 구합니다.

베셀의 보정 설명

표본에서 모집단 분산을 추정할 때, n으로 나누면 실제 분산을 체계적으로 과소 추정하는 편향된 추정치가 생성됩니다. 프리드리히 베셀은 n 대신 (n − 1)로 나누면 이 편향이 교정된다는 것을 보여주었습니다. 직관적으로 크기 n인 표본은 표본 평균이 이미 계산에 사용되어 하나의 편차를 제약하므로 (n − 1)개의 자유도만 갖습니다.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1n개의 데이터 포인트에서 평균이 알려지면 (n − 1)개의 편차만 자유롭게 변할 수 있습니다.
  2. 2분모에 n을 사용하면 모집단 분산을 과소 추정하는 경향이 있습니다.
  3. 3(n − 1)을 사용하면 비편향 추정량을 제공합니다: E[s²] = σ².
  4. 4큰 표본(n > 30)의 경우 차이는 무시할 수 있습니다.
  5. 5작은 표본의 경우 보정이 추정치를 상당히 개선할 수 있습니다.

시각적 계산 가이드

단계별 시각적 접근 방식으로 표준편차를 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 데이터 세트 {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}을 살펴봅시다. 평균은 5.25입니다. 각 데이터 포인트는 평균과 다른 양만큼 편차가 있습니다. 이 편차를 제곱하고, 합산하고, (n − 1) = 7로 나누고, 제곱근을 취하면 표본 표준편차 s ≈ 2.49가 됩니다.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1모든 데이터 값을 나열하고 평균을 계산합니다: x̄ = 5.25.
  2. 2각 편차를 구합니다: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3각 편차를 제곱합니다: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625.
  4. 4제곱 편차의 합: 43.5.
  5. 5(n−1) = 7로 나눕니다: 분산 s² = 43.5/7 ≈ 6.21.
  6. 6제곱근을 취합니다: s ≈ 2.49.

학술 인용

학술 작업에서 이 계산기를 사용할 때 다음과 같이 인용할 수 있습니다. 이 계산기는 입문 통계 교과서에 정의된 모집단 및 표본 표준편차에 대한 표준 공식을 구현합니다.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app