ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมสำหรับหลายกลุ่ม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมคืออะไร?

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวม รวมค่าประมาณความแปรปรวนจากสองกลุ่มขึ้นไปเพื่อให้ได้ค่าประมาณเดียวแบบถ่วงน้ำหนัก เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทดสอบ t แบบสองตัวอย่างเมื่อสมมติว่าความแปรปรวนเท่ากัน

แนวคิดตรงไปตรงมา: ถ้าเราเชื่อว่าสองกลุ่มมาจากประชากรที่มีความแปรผันพื้นฐานเหมือนกัน เราสามารถรวมข้อมูลเพื่อประมาณค่าความแปรผันที่ใช้ร่วมกันได้ดีขึ้น ข้อมูลมากขึ้นหมายถึงค่าประมาณที่แม่นยำขึ้น

คิดแบบนี้: ถ้าคุณมี 20 ข้อสังเกตจากกลุ่ม A และ 30 จากกลุ่ม B และทั้งสองกลุ่มมีความแปรปรวนจริงเดียวกัน คุณจะมี 50 ข้อสังเกตเพื่อประมาณค่าความแปรปรวนนั้น แทนที่จะประมาณแยกจากตัวอย่างที่เล็กกว่า

เมื่อไหร่ควรรวม

รวมส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเฉพาะเมื่อคุณมีเหตุผลที่จะเชื่อว่าความแปรปรวนของประชากรพื้นฐานเท่ากัน ใช้การทดสอบของเลอวีนหรือการทดสอบ F เพื่อตรวจสอบข้อสมมตินี้ก่อนรวม

สูตร SD รวม

สำหรับสองกลุ่ม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมคือ:

SD รวมสองกลุ่ม

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

โดยที่ n₁ และ n₂ คือขนาดตัวอย่าง และ s₁ และ s₂ คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง

สำหรับ k กลุ่ม (เช่นใน ANOVA) สูตรขยายเป็น:

SD รวมหลายกลุ่ม

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

สังเกตว่าสูตรใช้เทอม (n-1) ทั้งในตัวเศษและตัวส่วน การถ่วงน้ำหนักนี้ทำให้ตัวอย่างที่ใหญ่กว่ามีส่วนสนับสนุนมากกว่าต่อค่าประมาณรวม ซึ่งเหมาะสมเพราะตัวอย่างที่ใหญ่กว่าให้ค่าประมาณความแปรปรวนที่น่าเชื่อถือมากกว่า

ข้อสมมติพื้นฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมสมมติ ความเป็นเอกพันธ์ของความแปรปรวน ว่าทุกกลุ่มมีความแปรปรวนของประชากรเดียวกัน ข้อสมมตินี้มีความสำคัญมากที่สุดเมื่อ:

ขนาดตัวอย่างไม่เท่ากัน (มีปัญหามากเป็นพิเศษถ้ากลุ่มที่ใหญ่กว่ามีความแปรปรวนน้อยกว่า)
อัตราส่วนของความแปรปรวนที่มากที่สุดต่อน้อยที่สุดเกิน 2-3
ขนาดตัวอย่างเล็ก (ตัวอย่างใหญ่ทนทานต่อการละเมิดมากกว่า)

เมื่อความแปรปรวนไม่เท่ากัน

ถ้าความแปรปรวนไม่เท่ากัน ให้ใช้การทดสอบ t ของเวลช์แทนการทดสอบ t แบบรวม หรือใช้ค่าประมาณความแปรปรวนแยกกัน การทดสอบของเวลช์ไม่สมมติความแปรปรวนเท่ากันและมักแนะนำเป็นวิธีเริ่มต้น

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

สถานการณ์: เปรียบเทียบคะแนนสอบระหว่างสองชั้นเรียน:

ชั้น A: n₁ = 25, ค่าเฉลี่ย = 78, s₁ = 12
ชั้น B: n₂ = 30, ค่าเฉลี่ย = 82, s₂ = 14

การคำนวณ SD รวม:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172.45 = 13.13

SD รวม 13.13 อยู่ระหว่าง SD ของแต่ละกลุ่ม (12 และ 14) โดยถ่วงน้ำหนักไปทางตัวอย่างที่ใหญ่กว่า ค่ารวมนี้จะถูกนำไปใช้ในสูตรการทดสอบ t หรือการคำนวณ Cohen's d

การประยุกต์ใช้ทางสถิติ

การทดสอบ t ตัวอย่างอิสระ: SD รวมใช้คำนวณความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ย
ขนาดอิทธิพล Cohen's d: ขนาดอิทธิพลถูกมาตรฐานโดยใช้ SD รวม: d = (M₁ - M₂) / sp
ANOVA: ค่าเฉลี่ยกำลังสองของความคลาดเคลื่อน (MSE) ใน ANOVA เป็นค่าประมาณความแปรปรวนรวมข้ามทุกกลุ่ม
การวิเคราะห์อภิมาน: เมื่อรวมงานวิจัย ค่าประมาณรวมช่วยมาตรฐานอิทธิพลข้ามบริบทต่างๆ

← ศูนย์เรียนรู้