ความแปรปรวนคืออะไร?
ความแปรปรวน วัดว่ากลุ่มของตัวเลขกระจายออกจากค่าเฉลี่ยมากเพียงใด มันคือค่าเฉลี่ยของความแตกต่างยกกำลังสองจากค่ากลาง และเป็นรากฐานที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสร้างขึ้นมา
แต่ละแท่งแสดงค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน = ค่าเฉลี่ยของแท่งเหล่านี้
สูตรความแปรปรวน
ความแปรปรวนของประชากร
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
ความแปรปรวนของตัวอย่าง
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
คำนวณค่าเฉลี่ย
รวมค่าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวน
2
หาค่าเบี่ยงเบนแต่ละค่า
ลบค่าเฉลี่ยออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุด
3
ยกกำลังสองค่าเบี่ยงเบนแต่ละค่า
สิ่งนี้กำจัดค่าลบและเน้นค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่
4
หาค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสอง
หารด้วย N (ประชากร) หรือ n-1 (ตัวอย่าง)
ทำไมต้องยกกำลังสองค่าเบี่ยงเบน?
สามเหตุผลสำคัญ
1. กำจัดค่าลบ: โดยไม่ยกกำลังสอง ค่าเบี่ยงเบนบวกและลบจะหักล้างกัน ทำให้ผลรวมเป็นศูนย์
2. ลงโทษค่าผิดปกติ: การยกกำลังสองให้น้ำหนักมากกับค่าที่อยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย
3. คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์: ความแปรปรวนมีคุณสมบัติเชิงพีชคณิตที่มีประโยชน์สำหรับการอนุมานทางสถิติ
ตัวอย่าง: ทำไมไม่ใช้ค่าสัมบูรณ์?
ชุดข้อมูล: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (ค่าเฉลี่ย = 5)
ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1.75
ความแปรปรวน (ยกกำลังสอง):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
ความแปรปรวน vs ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
ความแปรปรวน (σ²)
- หน่วยเป็นกำลังสอง (เช่น ซม.², ฿²)
- ตีความโดยตรงได้ยากกว่า
- มีประโยชน์สำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
- มีสมบัติการบวกสำหรับตัวแปรอิสระ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σ)
- หน่วยเดียวกับข้อมูลต้นฉบับ
- ตีความได้ง่ายกว่า
- ดีกว่าสำหรับการสื่อสาร
- ใช้ในคะแนน z และช่วงความเชื่อมั่น
การประยุกต์ใช้ความแปรปรวน
แม้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกรายงานบ่อยกว่า แต่ความแปรปรวนมีการใช้งานเฉพาะ:
- ANOVA:การวิเคราะห์ความแปรปรวนเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยระหว่างกลุ่ม
- ทฤษฎีพอร์ตการลงทุน:ความแปรปรวนของผลตอบแทนใช้ในการเพิ่มประสิทธิภาพ
- การวิเคราะห์การถดถอย:R² คือความแปรปรวนที่อธิบายได้หารด้วยความแปรปรวนรวม
- PCA:การวิเคราะห์องค์ประกอบหลักทำให้ความแปรปรวนที่อธิบายได้สูงสุด