Σ
SDCalc

สูตรและวิธีการ

เจาะลึกคณิตศาสตร์เบื้องหลังส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การอนุมานทางคณิตศาสตร์

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานวัดการกระจายตัวของจุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ย ได้มาจากการคำนวณรากที่สองของค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ย

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (ประชากร)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (ตัวอย่าง)
  1. 1คำนวณค่าเฉลี่ย (μ หรือ x̄) โดยการรวมค่าทั้งหมดและหารด้วยจำนวน
  2. 2ลบค่าเฉลี่ยจากแต่ละจุดข้อมูลเพื่อหาส่วนเบี่ยงเบน (xᵢ − μ)
  3. 3ยกกำลังสองแต่ละส่วนเบี่ยงเบนเพื่อกำจัดค่าลบ (xᵢ − μ)²
  4. 4รวมส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสองทั้งหมด: Σ(xᵢ − μ)²
  5. 5หารด้วย N (ประชากร) หรือ n−1 (ตัวอย่าง) เพื่อให้ได้ความแปรปรวน
  6. 6หารากที่สองของความแปรปรวนเพื่อให้ได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การแก้ไขของเบสเซล — คำอธิบาย

เมื่อประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรจากตัวอย่าง การหารด้วย n จะให้ค่าประมาณที่มีอคติซึ่งประมาณค่าความแปรปรวนจริงต่ำอย่างเป็นระบบ ฟรีดริช เบสเซลแสดงให้เห็นว่าการหารด้วย (n − 1) แทน n แก้ไขอคตินี้ได้ สัญชาตญาณคือตัวอย่างขนาด n มีเพียง (n − 1) องศาอิสระเพราะค่าเฉลี่ยตัวอย่างถูกใช้ในการคำนวณแล้ว ซึ่งจำกัดส่วนเบี่ยงเบนหนึ่งค่า

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← ไม่มีอคติ
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← มีอคติ
  1. 1เมื่อมี n จุดข้อมูล เมื่อทราบค่าเฉลี่ยแล้ว มีเพียง (n − 1) ส่วนเบี่ยงเบนที่สามารถแปรผันได้อย่างอิสระ
  2. 2การใช้ n ในตัวหารมีแนวโน้มที่จะประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรต่ำเกินไป
  3. 3การใช้ (n − 1) ให้ตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติ: E[s²] = σ²
  4. 4สำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ (n > 30) ความแตกต่างเล็กน้อยมาก
  5. 5สำหรับตัวอย่างขนาดเล็ก การแก้ไขสามารถปรับปรุงค่าประมาณได้อย่างมาก

คู่มือการคำนวณแบบภาพ

การทำความเข้าใจส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานง่ายขึ้นด้วยวิธีการแบบภาพทีละขั้นตอน พิจารณาชุดข้อมูล {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1} ค่าเฉลี่ยคือ 5.25 แต่ละจุดข้อมูลเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยในปริมาณที่แตกต่างกัน ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนเหล่านี้ รวมเข้าด้วยกัน หารด้วย (n − 1) = 7 และหารากที่สองจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง s ≈ 2.49

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1ระบุค่าข้อมูลทั้งหมดและคำนวณค่าเฉลี่ย: x̄ = 5.25
  2. 2หาแต่ละส่วนเบี่ยงเบน: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3ยกกำลังสองแต่ละส่วนเบี่ยงเบน: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625
  4. 4รวมส่วนเบี่ยงเบนยกกำลังสอง: 43.5
  5. 5หารด้วย (n−1) = 7: ความแปรปรวน s² = 43.5/7 ≈ 6.21
  6. 6หารากที่สอง: s ≈ 2.49

การอ้างอิงทางวิชาการ

เมื่อใช้เครื่องคำนวณนี้ในงานวิชาการ คุณสามารถอ้างอิงได้ดังต่อไปนี้ เครื่องคำนวณนี้ใช้สูตรมาตรฐานสำหรับทั้งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรและตัวอย่างตามที่กำหนดไว้ในตำราสถิติเบื้องต้น

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app