Apakah Varians?
Varians mengukur sejauh mana satu set nombor tersebar daripada nilai puratanya. Ia adalah purata perbezaan kuasa dua daripada min—dan ia merupakan asas di mana sisihan piawai dibina.
Setiap bar menunjukkan sisihan kuasa dua daripada min. Varians = purata bar-bar ini.
Formula Varians
Varians Populasi
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Varians Sampel
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Kira min
Tambahkan semua nilai dan bahagikan dengan bilangan.
2
Cari setiap sisihan
Tolak min daripada setiap titik data.
3
Kuasa duakan setiap sisihan
Ini menghapuskan nilai negatif dan menekankan sisihan besar.
4
Puratakan sisihan kuasa dua
Bahagikan dengan N (populasi) atau n-1 (sampel).
Mengapa Kita Kuasa Duakan Sisihan?
Tiga Sebab Utama
1. Menghapuskan negatif: Tanpa kuasa dua, sisihan positif dan negatif akan saling membatalkan, menjadikan jumlah sifar.
2. Menghukum pencilan: Kuasa dua memberikan lebih berat kepada nilai yang jauh daripada min.
3. Sifat matematik: Varians mempunyai sifat algebra yang berguna untuk inferensi statistik.
Contoh: Mengapa Tidak Gunakan Nilai Mutlak Sahaja?
Set Data: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Min = 5)
Sisihan Mutlak Min:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1.75
Varians (kuasa dua):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Varians vs Sisihan Piawai
Hubungan
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Varians (σ²)
- Unit adalah kuasa dua (cth., cm², $²)
- Lebih sukar untuk ditafsir secara langsung
- Berguna untuk operasi matematik
- Bersifat aditif untuk pemboleh ubah bebas
Sisihan Piawai (σ)
- Unit sama dengan data asal
- Lebih mudah ditafsir
- Lebih baik untuk komunikasi
- Digunakan dalam skor-z dan selang keyakinan
Aplikasi Varians
Walaupun sisihan piawai lebih lazim dilaporkan, varians mempunyai kegunaan khusus:
- ANOVA:Analisis Varians membandingkan min merentasi kumpulan
- Teori Portfolio:Varians pulangan digunakan dalam pengoptimuman
- Regresi:R² ialah varians yang diterangkan dibahagikan dengan jumlah varians
- PCA:Analisis Komponen Utama memaksimumkan varians yang diterangkan