Σ
SDCalc

Formula & Metodologi

Penyelaman mendalam ke dalam matematik di sebalik sisihan piawai.

Terbitan Matematik

Sisihan piawai mengukur serakan titik data daripada min mereka. Ia diperoleh dengan mengira punca kuasa dua bagi purata sisihan kuasa dua daripada min.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Kira min (μ atau x̄) dengan menjumlahkan semua nilai dan membahagi dengan bilangan.
  2. 2Tolak min daripada setiap titik data untuk mencari sisihan (xᵢ − μ).
  3. 3Kuasa duakan setiap sisihan untuk menghapuskan nilai negatif (xᵢ − μ)².
  4. 4Jumlahkan semua sisihan kuasa dua: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Bahagi dengan N (populasi) atau n−1 (sampel) untuk mendapatkan varians.
  6. 6Ambil punca kuasa dua varians untuk mendapatkan sisihan piawai.

Pembetulan Bessel Dijelaskan

Apabila menganggar varians populasi daripada sampel, membahagi dengan n menghasilkan anggaran pincang yang secara sistematik menganggar kurang varians sebenar. Friedrich Bessel menunjukkan bahawa membahagi dengan (n − 1) dan bukannya n membetulkan bias ini. Intuisinya ialah sampel bersaiz n hanya mempunyai (n − 1) darjah kebebasan kerana min sampel sudah digunakan dalam pengiraan, mengekang salah satu sisihan.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Dengan n titik data, sebaik sahaja min diketahui, hanya (n − 1) sisihan bebas untuk berubah.
  2. 2Menggunakan n dalam penyebut cenderung menganggar kurang varians populasi.
  3. 3Menggunakan (n − 1) memberikan penganggar tak pincang: E[s²] = σ².
  4. 4Untuk sampel besar (n > 30), perbezaannya adalah kecil.
  5. 5Untuk sampel kecil, pembetulan ini boleh meningkatkan anggaran dengan ketara.

Panduan Pengiraan Visual

Memahami sisihan piawai lebih mudah dengan pendekatan visual langkah demi langkah. Pertimbangkan set data {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Min ialah 5.25. Setiap titik data menyimpang daripada min dengan jumlah yang berbeza. Mengkuasa duakan sisihan ini, menjumlahkannya, membahagi dengan (n − 1) = 7, dan mengambil punca kuasa dua memberikan sisihan piawai sampel s ≈ 2.49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Senaraikan semua nilai data dan kira min: x̄ = 5.25.
  2. 2Cari setiap sisihan: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3Kuasa duakan setiap sisihan: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625.
  4. 4Jumlahkan sisihan kuasa dua: 43.5.
  5. 5Bahagi dengan (n−1) = 7: varians s² = 43.5/7 ≈ 6.21.
  6. 6Ambil punca kuasa dua: s ≈ 2.49.

Petikan Akademik

Apabila menggunakan kalkulator ini dalam kerja akademik, anda boleh memetiknya seperti berikut. Kalkulator ini melaksanakan formula piawai untuk kedua-dua sisihan piawai populasi dan sampel seperti yang ditakrifkan dalam buku teks statistik pengenalan.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app