Statistik Teguh: MAD, IQR, dan Kaedah Rintang Pencilan

Mengapa Statistik Teguh?

Sisihan piawai ialah ukuran serakan yang berkuasa, tetapi ia mempunyai kelemahan kritikal: kepekaan melampau terhadap pencilan. Satu nilai melampau tunggal boleh meningkatkan SD secara dramatik, memberikan gambaran yang mengelirukan tentang variasi tipikal.

Statistik teguh menyediakan ukuran serakan yang menahan pengaruh pencilan, menjadikannya penting untuk data dunia sebenar di mana ralat pengukuran, kesilapan kemasukan data, atau kes melampau yang tulen adalah biasa.

Contoh: Kesan Pencilan

Data: 10, 12, 11, 13, 12, 11, 100 (satu pencilan) Sisihan Piawai: 32.4 (didominasi oleh pencilan) MAD: 1.0 (mengabaikan pencilan) IQR: 1.5 (mengabaikan pencilan)

Titik Pecah

Titik pecah sesuatu statistik ialah perkadaran data yang boleh menjadi melampau sebelum statistik itu menjadi tidak bermakna. SD mempunyai titik pecah 0% (satu pencilan boleh memusnahkannya). MAD dan IQR mempunyai titik pecah 50%—separuh data anda boleh menjadi pencilan dan ia masih berfungsi.

Sisihan Mutlak Median (MAD)

MAD ialah ukuran serakan yang paling teguh. Ia mengira median sisihan mutlak daripada median:

MAD Formula

MAD = median(|xᵢ - median(x)|)

Cari Median

Kira median set data anda.

Kira Sisihan

Tolak median daripada setiap nilai dan ambil nilai mutlak.

Cari MAD

Kira median sisihan mutlak ini.

Menskala MAD untuk menganggar σ: Untuk data bertaburan normal, MAD ≈ 0.6745 × σ. Untuk menganggar SD daripada MAD, darabkan dengan 1.4826:

SD Estimate from MAD

σ̂ = 1.4826 × MAD

Mengapa 1.4826?

Faktor penskalaan ini datang daripada hubungan antara MAD dan SD untuk taburan normal. Ia memastikan MAD berskala ialah penganggar tidak berat sebelah bagi sisihan piawai sebenar apabila data adalah normal.

Julat Antara Kuartil (IQR)

IQR mengukur serakan 50% data di tengah—julat antara persentil ke-25 dan ke-75:

IQR Formula

IQR = Q3 - Q1 = persentil ke-75 - persentil ke-25

IQR digunakan secara meluas kerana ia mudah difahami, senang divisualisasikan dalam plot kotak, dan membentuk asas peraturan “1.5×IQR” yang biasa untuk pengesanan pencilan.

Menskala IQR untuk menganggar σ: Untuk data normal, IQR ≈ 1.35 × σ. Untuk menganggar SD daripada IQR:

SD Estimate from IQR

σ̂ = IQR / 1.35 ≈ 0.7413 × IQR

Membandingkan Ukuran Teguh

Sisihan Piawai

Menggunakan semua titik data · Paling cekap untuk data normal · Sangat peka terhadap pencilan · Titik pecah: 0%

MAD

Ukuran paling teguh · Menggunakan median (bukan min) · Kebal terhadap sebarang pencilan · Titik pecah: 50%

IQR

Mudah difahami · Digunakan dalam plot kotak · Mengabaikan 50% melampau · Titik pecah: 25%

Bila Menggunakan Statistik Teguh

Analisis penerokaan: Apabila anda tidak tahu sama ada pencilan wujud, mulakan dengan ukuran teguh
Isu kualiti data: Apabila data mungkin mengandungi ralat atau masalah pengukuran
Taburan ekor berat: Apabila nilai melampau dijangka (pulangan kewangan, tuntutan insurans)
Sampel kecil: Apabila pencilan mempunyai kesan luar biasa kerana bilangan cerapan yang sedikit
Pengesanan pencilan: Menggunakan SD untuk mengesan pencilan adalah membulat; gunakan IQR atau MAD sebagai ganti

Contoh Pelaksanaan

Python

import numpy as np
from scipy import stats

def mad(data):
    """Median Absolute Deviation"""
    median = np.median(data)
    return np.median(np.abs(data - median))

def scaled_mad(data):
    """MAD scaled to estimate SD (for normal data)"""
    return 1.4826 * mad(data)

def iqr(data):
    """Interquartile Range"""
    return np.percentile(data, 75) - np.percentile(data, 25)

# Compare on data with outlier
data = [10, 12, 11, 13, 12, 11, 100]
print(f"SD: {np.std(data, ddof=1):.2f}")
print(f"MAD: {mad(data):.2f}")
print(f"Scaled MAD: {scaled_mad(data):.2f}")
print(f"IQR: {iqr(data):.2f}")

A statistics tutorial is a practical interpretation guide, not just a formula dump. It refers to the assumptions, notation, and reporting language that analysts need when they explain a result to a teacher, manager, client, or reviewer. The article body covers the specific topic, while the sections below create a common interpretation frame that readers can reuse across related metrics.

Reading goal	What to focus on	Common mistake
Definition	What the metric is and what quantity it summarizes	Treating the formula as self-explanatory
Formula choice	Sample versus population assumptions and notation	Using n when n-1 is required or vice versa
Interpretation	Whether the result indicates concentration, spread, or risk	Calling a large value good or bad without context

Frequently Asked Questions

How should I interpret a high standard deviation?

A high standard deviation means the observations are spread farther from the mean on average. Whether that spread is acceptable depends on the context: wide dispersion might signal risk in finance, instability in manufacturing, or genuine natural variation in scientific data.

Why do some articles mention n while others mention n-1?

The denominator reflects the difference between population and sample formulas. Population variance and population standard deviation use N because the full dataset is known. Sample variance and sample standard deviation often use n-1 because Bessel’s correction reduces bias when estimating population spread from a sample.

What is a statistical interpretation guide?

A statistical interpretation guide is a page that moves beyond arithmetic and explains meaning. It tells you what a metric is, when the formula applies, and how to describe the result in plain English without overstating certainty.

Can I cite this article in a report?

You should cite the underlying authoritative reference for formal work whenever possible. This page is best used as an explanatory bridge that helps you understand the concept before quoting the original standard or handbook.

Why include direct citations on every article page?

Direct citations give readers a route to verify the definition, notation, and assumptions. That improves trust and reduces the chance that a simplified explanation is mistaken for the entire technical standard.

Authoritative References

These sources define the concepts referenced most often across our articles. Bessel's correction is a sample adjustment, variance is a squared measure of spread, and standard deviation is the square root of variance expressed in the same units as the data.