Sisihan Piawai Terkumpul untuk Pelbagai Kumpulan

Apakah Sisihan Piawai Terkumpul?

Sisihan piawai terkumpul menggabungkan anggaran varians daripada dua atau lebih kumpulan untuk mendapatkan satu anggaran berwajaran. Ia penting untuk ujian-t dua sampel apabila mengandaikan varians yang sama.

Konsepnya mudah: jika kita percaya dua kumpulan datang daripada populasi dengan kebolehubahan asas yang sama, kita boleh menggabungkan data mereka untuk mendapatkan anggaran kebolehubahan bersama yang lebih baik. Lebih banyak data bermakna anggaran yang lebih tepat.

Fikirkan begini: jika anda mempunyai 20 cerapan daripada Kumpulan A dan 30 daripada Kumpulan B, dan kedua-dua kumpulan mempunyai varians sebenar yang sama, anda kini mempunyai 50 cerapan untuk menganggar varians itu berbanding menganggarinya secara berasingan daripada sampel yang lebih kecil.

Bila Mengumpulkan

Kumpulkan sisihan piawai hanya apabila anda mempunyai sebab untuk percaya varians populasi asas adalah sama. Gunakan ujian Levene atau ujian-F untuk memeriksa andaian ini sebelum mengumpulkan.

Formula SD Terkumpul

Untuk dua kumpulan, sisihan piawai terkumpul ialah:

Two-Group Pooled SD

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

Di mana n₁ dan n₂ ialah saiz sampel, dan s₁ serta s₂ ialah sisihan piawai sampel.

Untuk k kumpulan (seperti dalam ANOVA), formula menjadi umum:

Multi-Group Pooled SD

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

Perhatikan formula menggunakan sebutan (n-1) dalam kedua-dua pengangka dan penyebut. Pemberat ini memastikan sampel yang lebih besar menyumbang lebih banyak kepada anggaran terkumpul, yang wajar kerana sampel yang lebih besar menyediakan anggaran varians yang lebih dipercayai.

Andaian Asas

Sisihan piawai terkumpul mengandaikan kehomogenan varians—bahawa semua kumpulan berkongsi varians populasi yang sama. Andaian ini paling penting apabila:

Saiz sampel tidak sama rata (terutamanya bermasalah jika kumpulan yang lebih besar mempunyai varians yang lebih kecil)
Nisbah varians terbesar kepada terkecil melebihi 2-3
Saiz sampel kecil (sampel besar lebih teguh terhadap pelanggaran)

Apabila Varians Berbeza

Jika varians tidak sama, gunakan ujian-t Welch sebagai ganti ujian-t terkumpul, atau gunakan anggaran varians berasingan. Ujian Welch tidak mengandaikan varians yang sama dan sering disyorkan sebagai pendekatan lalai.

Contoh Terperinci

Senario: Membandingkan markah ujian antara dua kelas:

Kelas A: n₁ = 25, min = 78, s₁ = 12
Kelas B: n₂ = 30, min = 82, s₂ = 14

Pengiraan SD terkumpul:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172.45 = 13.13

SD terkumpul 13.13 berada antara SD individu (12 dan 14), berwajaran ke arah sampel yang lebih besar. Nilai terkumpul ini kemudian akan digunakan dalam formula ujian-t atau pengiraan Cohen's d.

Aplikasi Statistik

Ujian-t sampel bebas: SD terkumpul digunakan untuk mengira ralat piawai perbezaan antara min.
Saiz kesan Cohen's d: Saiz kesan distandardkan menggunakan SD terkumpul: d = (M₁ - M₂) / sp
ANOVA: Min Kuasa Dua Ralat (MSE) dalam ANOVA pada dasarnya ialah anggaran varians terkumpul merentasi semua kumpulan.
Meta-analisis: Apabila menggabungkan kajian, anggaran terkumpul membantu menstandardkan kesan merentasi konteks yang berbeza.

← Pusat Pembelajaran