एकाधिक समूहों के लिए सम्मिलित मानक विचलन

सम्मिलित मानक विचलन क्या है?

सम्मिलित मानक विचलन एकल भारित अनुमान प्राप्त करने के लिए दो या अधिक समूहों के प्रसरण अनुमानों को मिलाता है। समान प्रसरणों की मान्यता के साथ दो-प्रतिदर्श t-परीक्षणों के लिए यह आवश्यक है।

अवधारणा सरल है: यदि हम मानते हैं कि दो समूह समान अंतर्निहित परिवर्तनशीलता वाली समष्टियों से आते हैं, तो हम उस साझा परिवर्तनशीलता का बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए उनके डेटा को मिला सकते हैं। अधिक डेटा का अर्थ है अधिक सटीक अनुमान।

इसे इस तरह सोचें: यदि आपके पास समूह A से 20 और समूह B से 30 प्रेक्षण हैं, और दोनों समूहों का वास्तविक प्रसरण समान है, तो अब आपके पास छोटे प्रतिदर्शों से अलग-अलग अनुमान लगाने के बजाय उस प्रसरण का अनुमान लगाने के लिए 50 प्रेक्षण हैं।

कब सम्मिलित करें

मानक विचलनों को केवल तभी सम्मिलित करें जब आपके पास विश्वास करने का कारण हो कि अंतर्निहित समष्टि प्रसरण समान हैं। सम्मिलित करने से पहले इस मान्यता की जाँच करने के लिए लेवेन परीक्षण या F-परीक्षण का उपयोग करें।

सम्मिलित SD सूत्र

दो समूहों के लिए, सम्मिलित मानक विचलन है:

दो-समूह सम्मिलित SD

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

जहाँ n₁ और n₂ प्रतिदर्श आकार हैं, और s₁ और s₂ प्रतिदर्श मानक विचलन हैं।

k समूहों के लिए (जैसे ANOVA में), सूत्र सामान्यीकृत होता है:

बहु-समूह सम्मिलित SD

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

ध्यान दें कि सूत्र अंश और हर दोनों में (n-1) पदों का उपयोग करता है। यह भारांकन सुनिश्चित करता है कि बड़े प्रतिदर्श सम्मिलित अनुमान में अधिक योगदान दें, जो उचित है क्योंकि बड़े प्रतिदर्श अधिक विश्वसनीय प्रसरण अनुमान प्रदान करते हैं।

अंतर्निहित मान्यताएँ

सम्मिलित मानक विचलन प्रसरण की एकरूपता मानता है—कि सभी समूह समान समष्टि प्रसरण साझा करते हैं। यह मान्यता सबसे अधिक मायने रखती है जब:

प्रतिदर्श आकार असमान हों (विशेषकर समस्याग्रस्त यदि बड़े समूह का प्रसरण छोटा हो)
सबसे बड़े और सबसे छोटे प्रसरण का अनुपात 2-3 से अधिक हो
प्रतिदर्श आकार छोटे हों (बड़े प्रतिदर्श उल्लंघनों के प्रति अधिक मज़बूत हैं)

जब प्रसरण भिन्न हों

यदि प्रसरण असमान हैं, तो सम्मिलित t-परीक्षण के बजाय वेल्च t-परीक्षण का उपयोग करें, या अलग प्रसरण अनुमानों का उपयोग करें। वेल्च का परीक्षण समान प्रसरणों की मान्यता नहीं रखता और अक्सर डिफ़ॉल्ट दृष्टिकोण के रूप में अनुशंसित किया जाता है।

हल किया गया उदाहरण

परिदृश्य: दो कक्षाओं के परीक्षा अंकों की तुलना:

कक्षा A: n₁ = 25, माध्य = 78, s₁ = 12
कक्षा B: n₂ = 30, माध्य = 82, s₂ = 14

सम्मिलित SD गणना:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172.45 = 13.13

13.13 का सम्मिलित SD व्यक्तिगत SD (12 और 14) के बीच आता है, बड़े प्रतिदर्श की ओर भारित। इस सम्मिलित मान का उपयोग फिर t-परीक्षण सूत्र या Cohen's d गणना में किया जाएगा।

सांख्यिकीय अनुप्रयोग

स्वतंत्र प्रतिदर्श t-परीक्षण: सम्मिलित SD का उपयोग माध्यों के अंतर की मानक त्रुटि की गणना करने के लिए किया जाता है।
Cohen's d प्रभाव आकार: प्रभाव आकारों को सम्मिलित SD का उपयोग करके मानकीकृत किया जाता है: d = (M₁ - M₂) / sp
ANOVA: ANOVA में माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) अनिवार्य रूप से सभी समूहों का सम्मिलित प्रसरण अनुमान है।
मेटा-विश्लेषण: अध्ययनों को मिलाते समय, सम्मिलित अनुमान विभिन्न संदर्भों में प्रभावों को मानकीकृत करने में मदद करते हैं।

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