प्रसरण क्या है?
प्रसरण मापता है कि संख्याओं का एक समूह अपने औसत मान से कितना फैला हुआ है। यह माध्य से वर्गित अंतरों का औसत है—और यह वह नींव है जिस पर मानक विचलन बना है।
प्रत्येक स्तंभ माध्य से वर्गित विचलन दिखाता है। प्रसरण = इन स्तंभों का औसत।
प्रसरण सूत्र
समष्टि प्रसरण
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
प्रतिदर्श प्रसरण
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
माध्य की गणना करें
सभी मानों को जोड़ें और गिनती से भाग दें।
2
प्रत्येक विचलन ज्ञात करें
प्रत्येक डेटा बिंदु से माध्य घटाएँ।
3
प्रत्येक विचलन का वर्ग करें
यह ऋणात्मक मानों को समाप्त करता है और बड़े विचलनों पर ज़ोर देता है।
4
वर्गित विचलनों का औसत निकालें
N (समष्टि) या n-1 (प्रतिदर्श) से भाग दें।
विचलनों का वर्ग क्यों करें?
तीन प्रमुख कारण
1. ऋणात्मक मानों को समाप्त करें: वर्ग किए बिना, धनात्मक और ऋणात्मक विचलन एक-दूसरे को रद्द कर देंगे, जिससे योग शून्य हो जाएगा।
2. बहिर्वक्र मानों को दंडित करें: वर्ग करना माध्य से दूर के मानों को अधिक भार देता है।
3. गणितीय गुण: प्रसरण के उपयोगी बीजगणितीय गुण हैं जो सांख्यिकीय अनुमान के लिए काम आते हैं।
उदाहरण: निरपेक्ष मान क्यों नहीं?
डेटासेट: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (माध्य = 5)
माध्य निरपेक्ष विचलन:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1.75
प्रसरण (वर्गित):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
प्रसरण vs मानक विचलन
संबंध
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
प्रसरण (σ²)
- इकाइयाँ वर्गित हैं (जैसे cm², ₹²)
- सीधे व्याख्या करना कठिन
- गणितीय संक्रियाओं के लिए उपयोगी
- स्वतंत्र चरों के लिए योज्य
मानक विचलन (σ)
- मूल डेटा जैसी इकाइयाँ
- व्याख्या करना आसान
- संवाद के लिए बेहतर
- z-अंकों और विश्वास अंतरालों में उपयोग
प्रसरण के अनुप्रयोग
जबकि मानक विचलन अधिक सामान्यतः रिपोर्ट किया जाता है, प्रसरण के विशिष्ट उपयोग हैं:
- ANOVA:प्रसरण विश्लेषण समूहों के बीच माध्यों की तुलना करता है
- पोर्टफोलियो सिद्धांत:प्रतिफल के प्रसरण अनुकूलन में उपयोग किए जाते हैं
- प्रतिगमन:R² = व्याख्यायित प्रसरण / कुल प्रसरण
- PCA:प्रमुख घटक विश्लेषण व्याख्यायित प्रसरण को अधिकतम करता है