Σ
SDCalc

सूत्र और कार्यप्रणाली

मानक विचलन के पीछे के गणित में गहन अध्ययन।

गणितीय व्युत्पत्ति

मानक विचलन डेटा बिंदुओं के उनके माध्य से फैलाव को मापता है। यह माध्य से औसत वर्ग विचलन के वर्गमूल की गणना करके प्राप्त किया जाता है।

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1सभी मानों को जोड़कर और संख्या से भाग देकर माध्य (μ या x̄) की गणना करें।
  2. 2विचलन (xᵢ − μ) खोजने के लिए प्रत्येक डेटा बिंदु से माध्य घटाएँ।
  3. 3ऋणात्मक मानों को समाप्त करने के लिए प्रत्येक विचलन का वर्ग करें (xᵢ − μ)²।
  4. 4सभी वर्ग विचलनों का योग करें: Σ(xᵢ − μ)²।
  5. 5प्रसरण प्राप्त करने के लिए N (जनसंख्या) या n−1 (प्रतिदर्श) से भाग दें।
  6. 6मानक विचलन प्राप्त करने के लिए प्रसरण का वर्गमूल लें।

बेसेल के सुधार की व्याख्या

प्रतिदर्श से जनसंख्या प्रसरण का अनुमान लगाते समय, n से भाग देने पर एक पक्षपाती अनुमान मिलता है जो व्यवस्थित रूप से सच्चे प्रसरण को कम आँकता है। फ्रेडरिक बेसेल ने दिखाया कि n के बजाय (n − 1) से भाग देने पर यह पूर्वाग्रह ठीक हो जाता है। अंतर्दृष्टि यह है कि n आकार के प्रतिदर्श में केवल (n − 1) स्वतंत्रता की कोटियाँ होती हैं क्योंकि प्रतिदर्श माध्य पहले से ही गणना में उपयोग किया जाता है, जो एक विचलन को बाधित करता है।

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← अपक्षपाती
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← पक्षपाती
  1. 1n डेटा बिंदुओं के साथ, एक बार माध्य ज्ञात हो जाने पर, केवल (n − 1) विचलन स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।
  2. 2हर में n का उपयोग जनसंख्या प्रसरण को कम आँकने की प्रवृत्ति रखता है।
  3. 3(n − 1) का उपयोग एक अपक्षपाती अनुमानक प्रदान करता है: E[s²] = σ²।
  4. 4बड़े प्रतिदर्शों (n > 30) के लिए, अंतर नगण्य है।
  5. 5छोटे प्रतिदर्शों के लिए, सुधार अनुमान में महत्वपूर्ण सुधार कर सकता है।

दृश्य गणना मार्गदर्शिका

चरण-दर-चरण दृश्य दृष्टिकोण से मानक विचलन को समझना आसान है। डेटा सेट {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1} पर विचार करें। माध्य 5.25 है। प्रत्येक डेटा बिंदु माध्य से अलग-अलग मात्रा में विचलित होता है। इन विचलनों का वर्ग करके, जोड़कर, (n − 1) = 7 से भाग देकर, और वर्गमूल लेकर प्रतिदर्श मानक विचलन s ≈ 2.49 प्राप्त होता है।

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1सभी डेटा मानों को सूचीबद्ध करें और उनके माध्य की गणना करें: x̄ = 5.25।
  2. 2प्रत्येक विचलन खोजें: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3प्रत्येक विचलन का वर्ग करें: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625।
  4. 4वर्ग विचलनों का योग करें: 43.5।
  5. 5(n−1) = 7 से भाग दें: प्रसरण s² = 43.5/7 ≈ 6.21।
  6. 6वर्गमूल लें: s ≈ 2.49।

अकादमिक उद्धरण

अकादमिक कार्य में इस कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, आप इसे निम्नानुसार उद्धृत कर सकते हैं। कैलकुलेटर जनसंख्या और प्रतिदर्श मानक विचलन दोनों के लिए मानक सूत्रों को लागू करता है जैसा कि परिचयात्मक सांख्यिकी पाठ्यपुस्तकों में परिभाषित किया गया है।

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app