Вибіркове та генеральне стандартне відхилення: коли використовувати кожне

Огляд

Одне з найпоширеніших запитань у статистиці: “Ділити на n чи на n-1?” Відповідь залежить від того, чи працюєте ви з генеральною сукупністю, чи лише з вибіркою.

Генеральна сукупність (N)

Використовуйте, коли маєте дані для кожного члена групи, яку вивчаєте. σ = √[Σ(x-μ)² / N]

Вибірка (n-1)

Використовуйте, коли маєте дані лише з підмножини більшої генеральної сукупності. s = √[Σ(x-x̄)² / (n-1)]

Генеральне стандартне відхилення (σ)

Генеральне стандартне відхилення використовується, коли у вас є вимірювання абсолютно кожного члена групи, яку ви аналізуєте. На практиці це трапляється відносно рідко.

Приклади справжніх генеральних сукупностей:

Усі 50 працівників невеликої компанії
Кожен студент у конкретному класі з 30 осіб
Усі транзакції за закритий фінансовий рік
Повні дані перепису населення країни

Вибіркове стандартне відхилення (s)

Вибіркове стандартне відхилення використовується, коли ви працюєте з підмножиною більшої генеральної сукупності. Це більш поширений сценарій у реальному аналізі.

Приклади вибірок:

Опитування 1 000 виборців для прогнозування результатів виборів
Тестування 50 виробів із партії в 10 000 одиниць
Вимірювання артеріального тиску у 200 пацієнтів клінічного дослідження
Аналіз 5 років біржових даних для прогнозування майбутньої волатильності

Поправка Бесселя

Поправка Бесселя — це причина, чому ми використовуємо (n-1) замість n при обчисленні вибіркового стандартного відхилення. Названа на честь німецького математика Фрідріха Бесселя, ця корекція дає незміщену оцінку генеральної дисперсії.

Чому (n-1) працює

Коли ви обчислюєте вибіркове середнє, ви “витрачаєте” один ступінь свободи. Вибіркове середнє обмежує дані — коли відомі n-1 значень і середнє, останнє значення визначене. Ділення на (n-1) компенсує цю втрату свободи.

Математична інтуїція

Точки вибіркових даних схильні групуватися ближче до вибіркового середнього, ніж до справжнього генерального середнього. Це призводить до того, що сума квадратів відхилень систематично менша, ніж мала б бути.

Ділення на (n-1) замість n дещо збільшує результат, компенсуючи цю недооцінку та даючи незміщену оцінку.

Коли використовувати кожне

Сценарій	Використовуйте	Діліть на
У вас є всі існуючі точки даних	Генеральне СВ (σ)	N
Ви описуєте лише наявні дані	Генеральне СВ (σ)	N
Ви оцінюєте параметри більшої генеральної сукупності	Вибіркове СВ (s)	n-1
Ви використовуєте СВ для статистичного висновування	Вибіркове СВ (s)	n-1

Загальне правило

Якщо сумніваєтесь, використовуйте вибіркове стандартне відхилення (n-1). Це безпечніше, тому що: - Більшість реальних даних — це вибірки, а не повні генеральні сукупності - Використання n-1 для справжньої генеральної сукупності трохи завищує результат (безпечніше, ніж занижувати) - Для великих n різниця все одно незначна

Практичні приклади

Приклад: Контроль якості

Завод виробляє 10 000 деталей на день. Відділ контролю якості тестує 100 деталей і встановлює, що їхня середня маса — 50 г. Відповідь: Використовуйте вибіркове СВ (n-1), оскільки 100 деталей — це вибірка з 10 000 виготовлених. Ви використовуєте цю вибірку для оцінки варіабельності всіх деталей.

Приклад: Оцінки в класі

Викладачка хоче описати варіабельність результатів тесту свого класу з 25 студентів. Вона не намагається узагальнити результати на інші класи. Відповідь: Використовуйте генеральне СВ (N), оскільки вона має оцінки всього класу (її генеральна сукупність) і не робить висновків щодо інших груп.

← Центр навчання