Σ
SDCalc

Формули та методологія

Поглиблене вивчення математики стандартного відхилення.

Математичне виведення

Стандартне відхилення вимірює розкид точок даних від їх середнього. Воно виводиться шляхом обчислення квадратного кореня із середнього квадрата відхилень від середнього.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (генеральна сукупність)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (вибірка)
  1. 1Обчисліть середнє (μ або x̄), додавши всі значення та поділивши на їх кількість.
  2. 2Відніміть середнє від кожної точки даних, щоб знайти відхилення (xᵢ − μ).
  3. 3Піднесіть кожне відхилення до квадрату, щоб усунути від'ємні значення (xᵢ − μ)².
  4. 4Підсумуйте всі квадрати відхилень: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Поділіть на N (генеральна сукупність) або n−1 (вибірка), щоб отримати дисперсію.
  6. 6Візьміть квадратний корінь з дисперсії, щоб отримати стандартне відхилення.

Поправка Бесселя — пояснення

При оцінці дисперсії генеральної сукупності за вибіркою ділення на n дає зміщену оцінку, яка систематично занижує справжню дисперсію. Фрідріх Бессель показав, що ділення на (n − 1) замість n виправляє це зміщення. Інтуїція полягає в тому, що вибірка розміром n має лише (n − 1) ступенів свободи, оскільки вибіркове середнє вже використовується в обчисленні, обмежуючи одне з відхилень.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← незміщена
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← зміщена
  1. 1При n точках даних, коли середнє відоме, лише (n − 1) відхилень можуть вільно змінюватися.
  2. 2Використання n у знаменнику має тенденцію занижувати дисперсію генеральної сукупності.
  3. 3Використання (n − 1) дає незміщену оцінку: E[s²] = σ².
  4. 4Для великих вибірок (n > 30) різниця незначна.
  5. 5Для малих вибірок поправка може суттєво покращити оцінку.

Візуальний посібник з обчислення

Розуміння стандартного відхилення легше з покроковим візуальним підходом. Розглянемо набір даних {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Середнє дорівнює 5,25. Кожна точка даних відхиляється від середнього на різну величину. Піднесення цих відхилень до квадрату, підсумовування, ділення на (n − 1) = 7 і взяття квадратного кореня дає вибіркове стандартне відхилення s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Перерахуйте всі значення даних і обчисліть їх середнє: x̄ = 5,25.
  2. 2Знайдіть кожне відхилення: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Піднесіть кожне відхилення до квадрату: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Підсумуйте квадрати відхилень: 43,5.
  5. 5Поділіть на (n−1) = 7: дисперсія s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Візьміть квадратний корінь: s ≈ 2,49.

Академічне цитування

При використанні цього калькулятора в академічній роботі ви можете цитувати його наступним чином. Калькулятор реалізує стандартні формули як для генерального, так і для вибіркового стандартного відхилення, як визначено у вступних підручниках зі статистики.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app