ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบถ่วงน้ำหนักคืออะไร?
เมื่อจุดข้อมูลมีระดับความสำคัญหรือความถี่ต่างกัน เราใช้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบถ่วงน้ำหนัก สิ่งนี้พบบ่อยในการวิเคราะห์พอร์ตการลงทุน ข้อมูลสำรวจที่มีน้ำหนักการสุ่มตัวอย่าง และการคำนวณ GPA
ในการคำนวณมาตรฐาน (ไม่ถ่วงน้ำหนัก) จุดข้อมูลทุกจุดมีส่วนสนับสนุนเท่ากันต่อค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่สถานการณ์ในชีวิตจริงมักต้องการให้น้ำหนักที่แตกต่างกันแก่ข้อสังเกตบางตัว การลงทุน 1 ล้านบาทควรส่งผลต่อการคำนวณความผันผวนของพอร์ตมากกว่าตำแหน่ง 1,000 บาท คำตอบแบบสำรวจจากกลุ่มประชากรที่ใหญ่กว่าควรมีน้ำหนักมากกว่าเมื่อประมาณพารามิเตอร์ประชากร
เมื่อไหร่ควรใช้ SD แบบถ่วงน้ำหนัก
สูตร SD แบบถ่วงน้ำหนัก
ก่อนอื่น คุณต้องหาค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก:
ค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก
จากนั้น ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบถ่วงน้ำหนัก (เวอร์ชันประชากร):
SD แบบถ่วงน้ำหนัก (ประชากร)
โดยที่ wᵢ คือน้ำหนัก xᵢ คือค่าข้อมูล และ x̄w คือค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก
สำหรับข้อมูลตัวอย่าง ใช้สูตรที่แก้ไขความเอนเอียง (คล้ายกับการแก้ไขเบสเซล):
SD แบบถ่วงน้ำหนัก (ตัวอย่าง)
การแก้ไขตัวอย่างมีความซับซ้อนกว่าเพราะ “ขนาดตัวอย่างที่มีประสิทธิภาพ” ขึ้นอยู่กับการแจกแจงของน้ำหนัก ถ้าน้ำหนักทั้งหมดเท่ากัน สูตรนี้จะลดรูปเป็นการแก้ไข n-1 ที่คุ้นเคย
การคำนวณทีละขั้นตอน
คำนวณค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก
คำนวณค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองแบบถ่วงน้ำหนัก
รวมค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองแบบถ่วงน้ำหนัก
หารด้วยผลรวมของน้ำหนัก
ถอดรากที่สอง
การประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง
ความผันผวนของพอร์ต: ในด้านการเงิน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของพอร์ตต้องคำนึงถึงการจัดสรรสินทรัพย์ที่แตกต่างกัน ความผันผวนของพอร์ตที่มีหุ้น 50% พันธบัตร 50% คำนวณโดยใช้ SD แบบถ่วงน้ำหนัก โดยน้ำหนักคือเปอร์เซ็นต์การจัดสรร
การวิเคราะห์สำรวจ: ตัวอย่างสำรวจมักแสดงกลุ่มประชากรบางกลุ่มมากเกินไปหรือน้อยเกินไป การถ่วงน้ำหนักปรับสิ่งนี้ ทำให้ผลลัพธ์สะท้อนประชากรที่แท้จริง SD แบบถ่วงน้ำหนักจับความแปรผันในประชากร ไม่ใช่แค่ตัวอย่าง
การให้เกรดทางวิชาการ: เมื่อคำนวณ GPA วิชาต่างๆ มีหน่วยกิตต่างกัน วิชา 4 หน่วยกิตควรส่งผลต่อ GPA มากกว่าวิชา 1 หน่วยกิต การคำนวณแบบถ่วงน้ำหนักจัดการสิ่งนี้ได้ตามธรรมชาติ
การวิเคราะห์อภิมาน: เมื่อรวมผลลัพธ์จากหลายงานวิจัย แต่ละงานจะถูกถ่วงน้ำหนักตามความแม่นยำ (มักเป็นส่วนกลับของความแปรปรวน) สิ่งนี้ให้อิทธิพลมากกว่าแก่งานวิจัยที่ใหญ่กว่าและแม่นยำกว่า
ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ
ตัวอย่างพอร์ตการลงทุน: พิจารณาพอร์ตที่มีหุ้นสามตัว:
- หุ้น A: ผลตอบแทน 15% สัดส่วน 50% (น้ำหนัก = 0.50)
- หุ้น B: ผลตอบแทน 8% สัดส่วน 30% (น้ำหนัก = 0.30)
- หุ้น C: ผลตอบแทน -2% สัดส่วน 20% (น้ำหนัก = 0.20)
ค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%
SD แบบถ่วงน้ำหนัก = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%
สังเกตผลกระทบ