Взвешенное стандартное отклонение

Что такое взвешенное стандартное отклонение?

Когда точки данных имеют различную степень важности или представляют разные частоты, используется взвешенное стандартное отклонение. Это типично для анализа инвестиционного портфеля, данных опросов с весами и расчёта среднего балла (GPA).

В обычном (невзвешенном) расчёте каждая точка данных вносит одинаковый вклад в среднее и стандартное отклонение. Однако реальные задачи часто требуют придания некоторым наблюдениям большего влияния. Инвестиция в 1 миллион рублей должна сильнее влиять на расчёт волатильности портфеля, чем позиция в 1 000 рублей. Ответ представителя более крупной демографической группы должен иметь больший вес при оценке параметров популяции.

Когда использовать взвешенное СО

Используйте взвешенное стандартное отклонение, когда ваши точки данных имеют различную важность, частоту или степень надёжности. Невзвешенное СО предполагает, что все точки одинаково важны — а это часто неверное допущение.

Формула взвешенного СО

Сначала необходимо вычислить взвешенное среднее:

Взвешенное среднее

x̄w = Σ(wᵢxᵢ) / Σwᵢ

Затем — взвешенное стандартное отклонение (генеральная версия):

Взвешенное СО (генеральное)

σw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / Σwᵢ]

Где wᵢ — веса, xᵢ — значения данных, а x̄w — взвешенное среднее.

Для выборочных данных используется формула с поправкой на смещение (аналог поправки Бесселя):

Взвешенное СО (выборочное)

sw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / (Σwᵢ - Σwᵢ²/Σwᵢ)]

Выборочная поправка сложнее, потому что «эффективный объём выборки» зависит от распределения весов. Если все веса одинаковы, формула сводится к привычной поправке n-1.

Пошаговый расчёт

Рассчитайте взвешенное среднее

Умножьте каждое значение на его вес, просуммируйте произведения и разделите на сумму весов.

Рассчитайте взвешенные квадраты отклонений

Для каждого значения найдите (значение - взвешенное среднее)², затем умножьте на вес.

Просуммируйте взвешенные квадраты отклонений

Сложите все произведения из шага 2.

Разделите на сумму весов

Для генерального СО делите на Σwᵢ. Для выборочного — используйте поправку на смещение.

Извлеките квадратный корень

Результат — взвешенное стандартное отклонение.

Практическое применение

Волатильность портфеля: В финансах стандартное отклонение портфеля должно учитывать различные доли активов. Волатильность портфеля из 50% акций и 50% облигаций рассчитывается с помощью взвешенного СО, где веса — это доли размещения.

Анализ опросов: Выборки опросов часто переоценивают или недооценивают определённые демографические группы. Взвешивание корректирует это, обеспечивая соответствие результатов реальной популяции. Взвешенное СО отражает вариабельность в популяции, а не только в выборке.

Средний балл: При расчёте среднего балла (GPA) разные курсы имеют различное количество зачётных единиц. Курс на 4 зачётные единицы должен влиять на средний балл сильнее, чем курс на 1 единицу. Взвешенный расчёт учитывает это естественным образом.

Мета-анализ: При объединении результатов нескольких исследований каждое взвешивается по его точности (часто обратная дисперсия). Это придаёт больше влияния более крупным и точным исследованиям.

Решённые примеры

Пример с портфелем: Рассмотрим портфель из трёх акций:

Акция A: доходность 15%, доля 50% (вес = 0,50)
Акция B: доходность 8%, доля 30% (вес = 0,30)
Акция C: доходность -2%, доля 20% (вес = 0,20)

Взвешенное среднее = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%

Взвешенное СО = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%

Обратите внимание

Акция C имеет долю всего 20%, но вносит значительный вклад в волатильность, поскольку её доходность сильно отклоняется от взвешенного среднего. Именно это и отражает взвешенное СО — важны и отклонение, и вес.

← Центр обучения