Σ
SDCalc

Формулы и методология

Углублённый анализ математики стандартного отклонения.

Математический вывод

Стандартное отклонение измеряет рассеивание точек данных относительно их среднего значения. Оно выводится путём вычисления квадратного корня из среднего квадрата отклонений от среднего.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Вычислите среднее (μ или x̄), сложив все значения и разделив на их количество.
  2. 2Вычтите среднее из каждой точки данных, чтобы найти отклонение (xᵢ − μ).
  3. 3Возведите каждое отклонение в квадрат для устранения отрицательных значений (xᵢ − μ)².
  4. 4Сложите все квадраты отклонений: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Разделите на N (совокупность) или n−1 (выборка), чтобы получить дисперсию.
  6. 6Извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы получить стандартное отклонение.

Поправка Бесселя

При оценке дисперсии генеральной совокупности по выборке деление на n даёт смещённую оценку, которая систематически занижает истинную дисперсию. Фридрих Бессель показал, что деление на (n − 1) вместо n исправляет это смещение. Интуитивно выборка размером n имеет только (n − 1) степеней свободы, поскольку выборочное среднее уже используется в расчёте, ограничивая одно из отклонений.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1При n точках данных, как только среднее известно, только (n − 1) отклонений свободны для изменения.
  2. 2Использование n в знаменателе приводит к занижению дисперсии совокупности.
  3. 3Использование (n − 1) даёт несмещённую оценку: E[s²] = σ².
  4. 4Для больших выборок (n > 30) разница пренебрежимо мала.
  5. 5Для малых выборок поправка может значительно улучшить оценку.

Визуальное руководство по расчёту

Понимание стандартного отклонения становится проще при пошаговом визуальном подходе. Рассмотрим набор данных {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Среднее равно 5,25. Каждая точка данных отклоняется от среднего на разную величину. Возведя эти отклонения в квадрат, сложив их, разделив на (n − 1) = 7 и извлекая квадратный корень, получаем выборочное стандартное отклонение s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Перечислите все значения данных и вычислите среднее: x̄ = 5,25.
  2. 2Найдите каждое отклонение: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Возведите каждое отклонение в квадрат: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Сложите квадраты отклонений: 43,5.
  5. 5Разделите на (n−1) = 7: дисперсия s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Извлеките квадратный корень: s ≈ 2,49.

Академическое цитирование

При использовании этого калькулятора в академических работах вы можете ссылаться на него следующим образом. Калькулятор реализует стандартные формулы как для генерального, так и для выборочного стандартного отклонения, определённые во вводных учебниках по статистике.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app