Геометрическое стандартное отклонение: полное руководство

Когда использовать геометрическое стандартное отклонение

Геометрическое стандартное отклонение (GSD) — это подходящая мера разброса для данных, которые носят мультипликативный, а не аддитивный характер — например, темпы роста, соотношения, концентрации или любые логнормально распределённые измерения.

Рассмотрим доходность акций: рост на 10% с последующим падением на 10% не возвращает к начальному значению (останется 99% от исходного). Такие мультипликативные взаимосвязи требуют геометрической, а не арифметической статистики.

Логнормальные данные

Данные имеют логнормальное распределение, когда их натуральный логарифм следует нормальному распределению. Типичные примеры:

• Цены акций и инвестиционная доходность
• Распределение доходов и богатства
• Размеры частиц в аэрозолях и фармпрепаратах
• Число бактериальных колоний и вирусная нагрузка
• Концентрации загрязнителей окружающей среды
• Титры антител и концентрации лекарственных препаратов

Ключевая характеристика: процессы, включающие многократное умножение, порождают логнормальные распределения, подобно тому как многократное сложение порождает нормальные.

Формула и расчёт

Проще говоря: возьмите натуральный логарифм всех значений, рассчитайте обычное стандартное отклонение, затем возведите e в эту степень.

import numpy as np
from scipy import stats

def geometric_sd(data):
    """Calculate geometric standard deviation"""
    log_data = np.log(data)
    sd_log = np.std(log_data, ddof=1)
    return np.exp(sd_log)

def geometric_mean(data):
    """Calculate geometric mean"""
    return stats.gmean(data)

# Example: Antibody titers (highly variable, log-normal)
titers = [64, 128, 256, 128, 512, 64, 256]
gm = geometric_mean(titers)
gsd = geometric_sd(titers)
print(f"Geometric Mean: {gm:.1f}")
print(f"Geometric SD: {gsd:.2f}")

Интерпретация значений GSD

В отличие от арифметического СО, которое выражается в тех же единицах, что и данные, GSD является мультипликативным фактором — отношением. GSD = 2,0 означает, что данные обычно варьируются в 2 раза.

• GSD = 1,0:Нет вариации (на практике невозможно)
• GSD ≈ 1,2:Низкая вариабельность (±20% типично)
• GSD ≈ 2,0:Умеренная вариабельность (данные удваиваются/уменьшаются вдвое)
• GSD ≈ 3,0:Высокая вариабельность (охватывает порядок величины)

Практическое применение

GSD и обычное СО

Использование арифметического СО для логнормальных данных даёт вводящие в заблуждение результаты: