ما هو الانحراف المعياري الموزون؟
عندما يكون لنقاط البيانات مستويات مختلفة من الأهمية أو تمثل تكرارات مختلفة، نستخدم الانحراف المعياري الموزون. هذا شائع في تحليل المحافظ الاستثمارية وبيانات الاستطلاعات ذات أوزان أخذ العينات وحسابات المعدل التراكمي.
في الحسابات المعيارية (غير الموزونة)، تساهم كل نقطة بيانات بالتساوي في المتوسط والانحراف المعياري. لكن السيناريوهات الواقعية غالبًا ما تتطلب إعطاء بعض الملاحظات تأثيرًا أكبر من غيرها. استثمار بقيمة مليون دولار يجب أن يؤثر على حساب تقلبات محفظتك أكثر من مركز بقيمة 1,000 دولار. واستجابة استطلاع من مجموعة ديموغرافية أكبر يجب أن تحمل وزنًا أكبر عند تقدير معلمات المجتمع.
متى تستخدم الانحراف المعياري الموزون
صيغة الانحراف المعياري الموزون
أولاً، تحتاج إلى المتوسط الموزون:
المتوسط الموزون
ثم، الانحراف المعياري الموزون (نسخة المجتمع):
الانحراف المعياري الموزون (المجتمع)
حيث wᵢ هي الأوزان، وxᵢ هي قيم البيانات، وx̄w هو المتوسط الموزون.
لبيانات العينة، استخدم الصيغة المصححة للتحيز (المماثلة لتصحيح بسل):
الانحراف المعياري الموزون (العينة)
تصحيح العينة أكثر تعقيدًا لأن “حجم العينة الفعلي” يعتمد على توزيع الأوزان. إذا كانت جميع الأوزان متساوية، تختزل إلى التصحيح المألوف n-1.
الحساب خطوة بخطوة
حساب المتوسط الموزون
حساب مربعات الانحرافات الموزونة
جمع مربعات الانحرافات الموزونة
القسمة على مجموع الأوزان
أخذ الجذر التربيعي
التطبيقات الواقعية
تقلبات المحفظة: في المالية، يجب أن يأخذ الانحراف المعياري للمحفظة في الاعتبار توزيعات الأصول المختلفة. تُحسب تقلبات محفظة 50% أسهم و50% سندات باستخدام الانحراف المعياري الموزون حيث الأوزان هي نسب التخصيص.
تحليل الاستطلاعات: غالبًا ما تمثل عينات الاستطلاع بعض الفئات الديموغرافية بشكل مفرط أو ناقص. يعدّل الترجيح ذلك لضمان أن النتائج تعكس المجتمع الحقيقي. الانحراف المعياري الموزون يلتقط التباين في المجتمع وليس فقط في العينة.
التقييم الأكاديمي: عند حساب المعدل التراكمي، تختلف المواد في عدد الساعات المعتمدة. مادة بأربع ساعات يجب أن تؤثر على معدلك أكثر من مادة بساعة واحدة. الحسابات الموزونة تتعامل مع هذا بشكل طبيعي.
التحليل التلوي: عند دمج نتائج من دراسات متعددة، يُوزَن كل دراسة حسب دقتها (غالبًا مقلوب التباين). هذا يعطي تأثيرًا أكبر للدراسات الأكبر والأكثر دقة.
أمثلة محلولة
مثال المحفظة: تأمل محفظة بثلاثة أسهم:
- السهم A: عائد 15%، تخصيص 50% (الوزن = 0.50)
- السهم B: عائد 8%، تخصيص 30% (الوزن = 0.30)
- السهم C: عائد -2%، تخصيص 20% (الوزن = 0.20)
المتوسط الموزون = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%
الانحراف المعياري الموزون = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%
لاحظ التأثير