ما هو التباين؟
التباين يقيس مدى انتشار مجموعة من الأرقام عن قيمتها المتوسطة. إنه متوسط مربعات الفروق عن المتوسط — وهو الأساس الذي يُبنى عليه الانحراف المعياري.
كل عمود يُظهر مربع الانحراف عن المتوسط. التباين = متوسط هذه الأعمدة.
صيغة التباين
تباين المجتمع
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
تباين العينة
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
حساب المتوسط
اجمع جميع القيم واقسم على العدد.
2
إيجاد كل انحراف
اطرح المتوسط من كل نقطة بيانات.
3
تربيع كل انحراف
هذا يزيل القيم السالبة ويركّز على الانحرافات الكبيرة.
4
حساب متوسط مربعات الانحرافات
اقسم على N (المجتمع) أو n-1 (العينة).
لماذا نربّع الانحرافات؟
ثلاثة أسباب رئيسية
1. إزالة السلبيات: بدون التربيع، ستلغي الانحرافات الموجبة والسالبة بعضها البعض، مما يجعل المجموع صفرًا.
2. معاقبة القيم المتطرفة: التربيع يعطي وزنًا أكبر للقيم البعيدة عن المتوسط.
3. الخصائص الرياضية: للتباين خصائص جبرية مفيدة في الاستدلال الإحصائي.
مثال: لماذا لا نستخدم القيم المطلقة فقط؟
مجموعة البيانات: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (المتوسط = 5)
متوسط الانحراف المطلق:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1.75
التباين (مربّع):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
التباين مقابل الانحراف المعياري
العلاقة
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
التباين (σ²)
- الوحدات مربّعة (مثل سم²، $²)
- صعب التفسير مباشرة
- مفيد للعمليات الرياضية
- قابل للجمع للمتغيرات المستقلة
الانحراف المعياري (σ)
- نفس وحدات البيانات الأصلية
- أسهل في التفسير
- أفضل للتواصل
- يُستخدم في الدرجات المعيارية وفترات الثقة
تطبيقات التباين
رغم أن الانحراف المعياري يُقدَّم بشكل أكثر شيوعًا، إلا أن للتباين استخدامات محددة:
- تحليل التباين (ANOVA):يقارن المتوسطات عبر المجموعات
- نظرية المحفظة:تُستخدم تباينات العوائد في التحسين
- الانحدار:R² هو التباين المُفسَّر مقسومًا على التباين الكلي
- تحليل المكونات الرئيسية (PCA):يعظّم التباين المُفسَّر