Σ
SDCalc

الصيغ والمنهجية

تعمق في الرياضيات وراء الانحراف المعياري.

الاشتقاق الرياضي

يقيس الانحراف المعياري تشتت نقاط البيانات عن متوسطها. يُشتق بحساب الجذر التربيعي لمتوسط مربعات الانحرافات عن المتوسط.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1احسب المتوسط (μ أو x̄) بجمع جميع القيم وقسمتها على العدد.
  2. 2اطرح المتوسط من كل نقطة بيانات لإيجاد الانحراف (xᵢ − μ).
  3. 3ربّع كل انحراف لإزالة القيم السالبة (xᵢ − μ)².
  4. 4اجمع جميع مربعات الانحرافات: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5اقسم على N (المجتمع) أو n−1 (العينة) للحصول على التباين.
  6. 6خذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

شرح تصحيح بيسل

عند تقدير تباين المجتمع من عينة، فإن القسمة على n تنتج تقديراً متحيزاً يقلل بشكل منهجي من التباين الحقيقي. أظهر فريدريش بيسل أن القسمة على (n − 1) بدلاً من n تصحح هذا التحيز. الفكرة هي أن عينة بحجم n لديها فقط (n − 1) درجة حرية لأن متوسط العينة يُستخدم بالفعل في الحساب، مما يقيد أحد الانحرافات.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1مع n نقطة بيانات، بمجرد معرفة المتوسط، يمكن لـ (n − 1) انحراف فقط أن يتغير بحرية.
  2. 2استخدام n في المقام يميل إلى التقليل من تباين المجتمع.
  3. 3استخدام (n − 1) يوفر مقدّراً غير متحيز: E[s²] = σ².
  4. 4بالنسبة للعينات الكبيرة (n > 30)، يكون الفرق ضئيلاً.
  5. 5بالنسبة للعينات الصغيرة، يمكن للتصحيح أن يحسن التقدير بشكل كبير.

دليل الحساب المرئي

فهم الانحراف المعياري أسهل مع نهج مرئي خطوة بخطوة. لنأخذ مجموعة البيانات {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. المتوسط هو 5.25. كل نقطة بيانات تنحرف عن المتوسط بمقدار مختلف. بتربيع هذه الانحرافات وجمعها والقسمة على (n − 1) = 7 وأخذ الجذر التربيعي نحصل على الانحراف المعياري للعينة s ≈ 2.49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1اكتب جميع قيم البيانات واحسب متوسطها: x̄ = 5.25.
  2. 2أوجد كل انحراف: (4−5.25)=−1.25، (8−5.25)=2.75، (6−5.25)=0.75، ...
  3. 3ربّع كل انحراف: 1.5625، 7.5625، 0.5625، 0.0625، 5.0625، 3.0625، 7.5625، 18.0625.
  4. 4اجمع مربعات الانحرافات: 43.5.
  5. 5اقسم على (n−1) = 7: التباين s² = 43.5/7 ≈ 6.21.
  6. 6خذ الجذر التربيعي: s ≈ 2.49.

الاستشهاد الأكاديمي

عند استخدام هذه الحاسبة في العمل الأكاديمي، يمكنك الاستشهاد بها كالتالي. تطبق الحاسبة الصيغ القياسية لكل من الانحراف المعياري للمجتمع والعينة كما هو محدد في كتب الإحصاء التمهيدية.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app