الانحراف المعياري المجمّع لمجموعات متعددة

ما هو الانحراف المعياري المجمّع؟

الانحراف المعياري المجمّع يجمع تقديرات التباين من مجموعتين أو أكثر للحصول على تقدير واحد موزون. وهو ضروري لاختبارات t للعينتين عند افتراض تساوي التباينات.

المفهوم بسيط: إذا كنا نعتقد أن مجموعتين تأتيان من مجتمعين لهما نفس التباين الأساسي، يمكننا دمج بياناتهما للحصول على تقدير أفضل لذلك التباين المشترك. بيانات أكثر تعني تقديرًا أكثر دقة.

فكّر في الأمر بهذه الطريقة: إذا كان لديك 20 ملاحظة من المجموعة A و30 من المجموعة B، وكلتا المجموعتين لهما نفس التباين الحقيقي، لديك الآن 50 ملاحظة لتقدير ذلك التباين بدلاً من تقديره بشكل منفصل من عينات أصغر.

متى تجمّع

لا تجمّع الانحرافات المعيارية إلا عندما يكون لديك سبب للاعتقاد بأن تباينات المجتمعات الأساسية متساوية. استخدم اختبار ليفين أو اختبار F للتحقق من هذا الافتراض قبل التجميع.

صيغة الانحراف المعياري المجمّع

لمجموعتين، الانحراف المعياري المجمّع هو:

الانحراف المعياري المجمّع لمجموعتين

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

حيث n₁ وn₂ هما حجما العينتين، وs₁ وs₂ هما الانحرافان المعياريان للعينتين.

لـ k مجموعة (كما في تحليل التباين)، تُعمَّم الصيغة:

الانحراف المعياري المجمّع لمجموعات متعددة

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

لاحظ أن الصيغة تستخدم حدود (n-1) في كلٍّ من البسط والمقام. هذا الترجيح يضمن أن العينات الأكبر تساهم أكثر في التقدير المجمّع، وهو مناسب لأن العينات الأكبر توفر تقديرات تباين أكثر موثوقية.

الافتراضات الأساسية

يفترض الانحراف المعياري المجمّع تجانس التباينات — أي أن جميع المجموعات تشترك في نفس تباين المجتمع. هذا الافتراض مهم بشكل خاص عندما:

أحجام العينات غير متساوية (مشكلة خاصة إذا كانت المجموعة الأكبر لها تباين أصغر)
نسبة أكبر تباين إلى أصغر تباين تتجاوز 2-3
أحجام العينات صغيرة (العينات الكبيرة أكثر متانة تجاه الانتهاكات)

عندما تختلف التباينات

إذا كانت التباينات غير متساوية، استخدم اختبار ويلش t بدلاً من اختبار t المجمّع، أو استخدم تقديرات تباين منفصلة. لا يفترض اختبار ويلش تساوي التباينات ويُوصى به غالبًا كنهج افتراضي.

مثال محلول

السيناريو: مقارنة درجات الاختبار بين صفين:

الصف A: n₁ = 25، المتوسط = 78، s₁ = 12
الصف B: n₂ = 30، المتوسط = 82، s₂ = 14

حساب الانحراف المعياري المجمّع:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172.45 = 13.13

الانحراف المعياري المجمّع 13.13 يقع بين الانحرافين المعياريين الفرديين (12 و14)، مع ترجيح نحو العينة الأكبر. تُستخدم هذه القيمة المجمّعة بعد ذلك في صيغة اختبار t أو حساب Cohen's d.

التطبيقات الإحصائية

اختبار t للعينات المستقلة: يُستخدم الانحراف المعياري المجمّع لحساب الخطأ المعياري للفرق بين المتوسطات.
حجم أثر Cohen's d: تُقيّس أحجام الأثر باستخدام الانحراف المعياري المجمّع: d = (M₁ - M₂) / sp
تحليل التباين (ANOVA): متوسط مربع الخطأ (MSE) في ANOVA هو بالأساس تقدير تباين مجمّع عبر جميع المجموعات.
التحليل التلوي: عند دمج الدراسات، تساعد التقديرات المجمّعة في توحيد الأثر عبر سياقات مختلفة.

← مركز التعلّم