الانحراف المعياري الهندسي: دليل شامل

متى تستخدم الانحراف المعياري الهندسي

الانحراف المعياري الهندسي (GSD) هو مقياس الانتشار المناسب للبيانات ذات الطبيعة الضربية بدلاً من الجمعية — مثل معدلات النمو والنسب والتركيزات أو أي قياسات ذات توزيع لوغاريتمي طبيعي.

تأمل عوائد الأسهم: ربح 10% يتبعه خسارة 10% لا يعيدك إلى نقطة التعادل (ستكون لديك 99% من الأصل). هذه العلاقات الضربية تتطلب إحصاءات هندسية بدلاً من الحسابية.

فهم البيانات اللوغاريتمية الطبيعية

البيانات تكون ذات توزيع لوغاريتمي طبيعي عندما يتبع لوغاريتمها الطبيعي التوزيع الطبيعي. الأمثلة الشائعة تشمل:

• أسعار الأسهم وعوائد الاستثمار عبر الزمن
• توزيعات الدخل والثروة
• أحجام الجسيمات في الهباء الجوي والأدوية
• أعداد المستعمرات البكتيرية والحمل الفيروسي
• تركيزات الملوثات البيئية
• عيارات الأجسام المضادة وتركيزات الأدوية

السمة الرئيسية: العمليات التي تتضمن ضربًا متكررًا تولّد توزيعات لوغاريتمية طبيعية، تمامًا كما يولّد الجمع المتكرر توزيعات طبيعية.

الصيغة والحساب

أو ببساطة أكثر: خذ اللوغاريتم الطبيعي لجميع القيم، احسب الانحراف المعياري العادي، ثم ارفع e للأس.

import numpy as np
from scipy import stats

def geometric_sd(data):
    """Calculate geometric standard deviation"""
    log_data = np.log(data)
    sd_log = np.std(log_data, ddof=1)
    return np.exp(sd_log)

def geometric_mean(data):
    """Calculate geometric mean"""
    return stats.gmean(data)

# Example: Antibody titers (highly variable, log-normal)
titers = [64, 128, 256, 128, 512, 64, 256]
gm = geometric_mean(titers)
gsd = geometric_sd(titers)
print(f"Geometric Mean: {gm:.1f}")
print(f"Geometric SD: {gsd:.2f}")

تفسير قيم GSD

على عكس الانحراف المعياري الحسابي الذي يكون بنفس وحدات بياناتك، فإن GSD هو عامل ضربي — نسبة. GSD بقيمة 2.0 يعني أن البيانات تتباين عادةً بمعامل 2.

• GSD = 1.0:لا تباين (مستحيل عمليًا)
• GSD ≈ 1.2:تباين منخفض (±20% نموذجي)
• GSD ≈ 2.0:تباين معتدل (البيانات تتضاعف/تنصّف)
• GSD ≈ 3.0:تباين عالٍ (يمتد عبر مرتبة من العظم)

التطبيقات الواقعية

GSD مقابل الانحراف المعياري العادي

استخدام الانحراف المعياري الحسابي على بيانات لوغاريتمية طبيعية يعطي نتائج مضللة: