加權標準差

什麼是加權標準差？

當資料點具有不同的重要性或代表不同的頻率時，我們使用加權標準差。這在投資組合分析、帶有抽樣權重的調查資料以及 GPA 計算中很常見。

在標準（未加權）計算中，每個資料點對平均數和標準差的貢獻是相等的。但現實中的場景常常需要讓某些觀測值比其他的有更大的影響力。一筆 100 萬元的投資對你的投資組合波動性計算的影響，理應大於一筆 1,000 元的部位。來自較大人口群體的調查回覆，在估計母體參數時也應該有更大的權重。

加權標準差公式

首先，你需要計算加權平均數：

然後，計算加權標準差（母體版本）：

其中 wᵢ 是權重，xᵢ 是資料值，x̄w 是加權平均數。

若為樣本資料，使用偏差校正公式（類似於貝塞爾校正）：

樣本校正較為複雜，因為“有效樣本數”取決於權重的分佈。如果所有權重相等，就會退化為熟悉的 n-1 校正。

逐步計算

實際應用

投資組合波動性： 在金融領域，投資組合的標準差必須考慮不同的資產配置比例。一個 50% 股票、50% 債券的投資組合，其波動性計算中權重就是配置百分比。

調查分析： 調查樣本經常過度或不足代表某些人口群體。加權可以調整這個問題，確保結果反映真正的母體。加權標準差捕捉的是母體中的變異性，而不僅僅是樣本中的。

學業成績： 計算 GPA 時，不同課程有不同的學分數。一門 4 學分的課程對你的 GPA 影響理應大於 1 學分的課程。加權計算自然處理了這個問題。

統合分析： 合併多項研究的結果時，每項研究會根據其精確度（通常是變異數的倒數）來加權。這讓較大、較精確的研究有更大的影響力。

計算範例

投資組合範例： 考慮一個包含三支股票的投資組合：

• 股票 A：報酬率 15%，配置 50%（權重 = 0.50）
• 股票 B：報酬率 8%，配置 30%（權重 = 0.30）
• 股票 C：報酬率 -2%，配置 20%（權重 = 0.20）

加權平均 = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%

加權標準差 = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%