什麼是變異數？
變異數衡量一組數字相對於其平均值的分散程度。它是每個數值與平均數之差的平方的平均值——也是標準差這個概念的基礎。
每個長條代表與平均數的偏差平方。變異數 = 這些長條的平均值。
變異數公式
母體變異數
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
樣本變異數
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
計算平均數
將所有數值加總，除以個數。
2
計算每個偏差
用每個資料點減去平均數。
3
將偏差平方
這會消除負值，並強調較大的偏差。
4
計算偏差平方的平均值
除以 N（母體）或 n-1（樣本）。
為什麼要平方偏差？
三個關鍵原因
1. 消除負值： 如果不平方，正偏差和負偏差會互相抵消，加總後為零。
2. 加重離群值的影響： 平方會讓偏離平均數較遠的值獲得更大的權重。
3. 數學特性： 變異數具有在統計推論中非常實用的代數性質。
範例：為什麼不直接用絕對值？
資料集：2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9（平均數 = 5）
平均絕對偏差：
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1.75
變異數（平方）：
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
變異數 vs 標準差
兩者的關係
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
變異數 (σ²)
- 單位是平方（例如 cm²、$²）
- 較難直接解讀
- 適合數學運算
- 獨立變數可直接相加
標準差 (σ)
- 與原始資料相同單位
- 較容易解讀
- 適合溝通報告
- 用於 Z 分數和信賴區間
變異數的應用
雖然標準差更常被報告使用，但變異數有其特定的用途：
- 變異數分析 (ANOVA):跨組別比較平均數
- 投資組合理論:報酬率的變異數用於最佳化配置
- 迴歸分析:R² 即為已解釋變異數除以總變異數
- 主成分分析 (PCA):最大化已解釋的變異數