Σ
SDCalc

公式與方法論

深入了解標準差背後的數學。

數學推導

標準差衡量資料點偏離其平均值的程度。它透過計算偏離平均值的平方偏差的平均值的平方根來推導。

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (母體)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (樣本)
  1. 1透過將所有值相加並除以數量來計算平均值 (μ 或 x̄)。
  2. 2從每個資料點減去平均值以求出偏差 (xᵢ − μ)。
  3. 3對每個偏差取平方以消除負值 (xᵢ − μ)²。
  4. 4將所有平方偏差求和：Σ(xᵢ − μ)²。
  5. 5除以 N（母體）或 n−1（樣本）以獲得變異數。
  6. 6取變異數的平方根以獲得標準差。

貝塞爾校正說明

當從樣本估計母體變異數時，除以 n 會產生有偏估計，系統性地低估真實變異數。弗里德里希·貝塞爾證明，除以 (n − 1) 而不是 n 可以校正這種偏差。直覺是，大小為 n 的樣本只有 (n − 1) 個自由度，因為樣本平均值已在計算中使用，約束了其中一個偏差。

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← 不偏
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← 有偏
  1. 1有 n 個資料點時，一旦知道平均值，只有 (n − 1) 個偏差可以自由變化。
  2. 2在分母中使用 n 傾向於低估母體變異數。
  3. 3使用 (n − 1) 提供不偏估計量：E[s²] = σ²。
  4. 4對於大樣本 (n > 30)，差異可以忽略不計。
  5. 5對於小樣本，校正可以顯著改善估計。

視覺化計算指南

透過逐步的視覺化方法更容易理解標準差。考慮資料集 {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}。平均值為 5.25。每個資料點偏離平均值的量不同。對這些偏差取平方、求和、除以 (n − 1) = 7，然後取平方根，得到樣本標準差 s ≈ 2.49。

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1列出所有資料值並計算其平均值：x̄ = 5.25。
  2. 2求每個偏差：(4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3對每個偏差取平方：1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625。
  4. 4將平方偏差求和：43.5。
  5. 5除以 (n−1) = 7：變異數 s² = 43.5/7 ≈ 6.21。
  6. 6取平方根：s ≈ 2.49。

學術引用

在學術工作中使用此計算器時，您可以按如下方式引用。該計算器實現了入門統計教科書中定義的母體和樣本標準差的標準公式。

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app