Độ lệch chuẩn có trọng số

Độ lệch chuẩn có trọng số là gì?

Khi các điểm dữ liệu có mức độ quan trọng hoặc tần suất khác nhau, chúng ta sử dụng độ lệch chuẩn có trọng số. Điều này phổ biến trong phân tích danh mục đầu tư, dữ liệu khảo sát có trọng số lấy mẫu và tính điểm trung bình tích lũy (GPA).

Trong tính toán không trọng số (thông thường), mọi điểm dữ liệu đóng góp đều nhau vào trung bình và độ lệch chuẩn. Nhưng các tình huống thực tế thường yêu cầu cho một số quan sát ảnh hưởng nhiều hơn. Khoản đầu tư 1 triệu đô la nên ảnh hưởng đến tính toán biến động danh mục nhiều hơn vị thế 1.000 đô la. Câu trả lời khảo sát từ nhóm nhân khẩu học lớn hơn nên mang trọng số lớn hơn khi ước lượng các tham số tổng thể.

Công thức SD có trọng số

Đầu tiên, bạn cần trung bình có trọng số:

Sau đó, độ lệch chuẩn có trọng số (phiên bản tổng thể):

Trong đó wᵢ là các trọng số, xᵢ là các giá trị dữ liệu, và x̄w là trung bình có trọng số.

Đối với dữ liệu mẫu, sử dụng công thức hiệu chỉnh chệch (tương tự hiệu chỉnh Bessel):

Hiệu chỉnh mẫu phức tạp hơn vì “kích thước mẫu hiệu quả” phụ thuộc vào phân bố trọng số. Nếu tất cả trọng số bằng nhau, công thức này rút gọn thành hiệu chỉnh n-1 quen thuộc.

Tính toán từng bước

Ứng dụng thực tế

Biến động danh mục đầu tư: Trong tài chính, độ lệch chuẩn danh mục phải tính đến các tỷ trọng phân bổ tài sản khác nhau. Biến động của danh mục 50% cổ phiếu, 50% trái phiếu được tính bằng SD có trọng số với trọng số là tỷ lệ phân bổ.

Phân tích khảo sát: Mẫu khảo sát thường đại diện quá mức hoặc thiếu một số nhóm nhân khẩu học nhất định. Trọng số điều chỉnh điều này, đảm bảo kết quả phản ánh tổng thể thực. SD có trọng số nắm bắt biến thiên trong tổng thể, không chỉ trong mẫu.

Chấm điểm học tập: Khi tính GPA, các môn khác nhau có số tín chỉ khác nhau. Môn 4 tín chỉ nên ảnh hưởng đến GPA nhiều hơn môn 1 tín chỉ. Tính toán có trọng số xử lý điều này một cách tự nhiên.

Phân tích tổng hợp: Khi kết hợp kết quả từ nhiều nghiên cứu, mỗi nghiên cứu được gán trọng số theo độ chính xác (thường là nghịch đảo phương sai). Điều này cho ảnh hưởng lớn hơn với các nghiên cứu lớn và chính xác hơn.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ danh mục đầu tư: Xem xét một danh mục với ba cổ phiếu:

• Cổ phiếu A: lợi nhuận 15%, phân bổ 50% (trọng số = 0,50)
• Cổ phiếu B: lợi nhuận 8%, phân bổ 30% (trọng số = 0,30)
• Cổ phiếu C: lợi nhuận -2%, phân bổ 20% (trọng số = 0,20)

Trung bình có trọng số = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%

SD có trọng số = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%