Phương sai là gì?
Phương sai đo lường mức độ phân tán của một tập số so với giá trị trung bình. Nó là trung bình các bình phương của các độ lệch từ trung bình—và là nền tảng mà độ lệch chuẩn được xây dựng trên đó.
Mỗi thanh hiển thị bình phương độ lệch từ trung bình. Phương sai = trung bình của các thanh này.
Công thức phương sai
Phương sai tổng thể
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Phương sai mẫu
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Tính trung bình
Cộng tất cả giá trị và chia cho số lượng.
2
Tìm mỗi độ lệch
Trừ trung bình từ mỗi điểm dữ liệu.
3
Bình phương mỗi độ lệch
Điều này loại bỏ giá trị âm và nhấn mạnh các độ lệch lớn.
4
Lấy trung bình các bình phương độ lệch
Chia cho N (tổng thể) hoặc n-1 (mẫu).
Tại sao bình phương độ lệch?
Ba lý do chính
1. Loại bỏ giá trị âm: Nếu không bình phương, các độ lệch dương và âm sẽ triệt tiêu nhau, làm tổng bằng 0.
2. Phạt giá trị ngoại lai: Bình phương cho trọng số lớn hơn với các giá trị xa trung bình.
3. Tính chất toán học: Phương sai có các tính chất đại số hữu ích cho suy luận thống kê.
Ví dụ: Tại sao không dùng giá trị tuyệt đối?
Tập dữ liệu: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Trung bình = 5)
Độ lệch tuyệt đối trung bình:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1,75
Phương sai (bình phương):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Phương sai và Độ lệch chuẩn
Mối quan hệ
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Phương sai (σ²)
- Đơn vị được bình phương (ví dụ: cm², $²)
- Khó diễn giải trực tiếp
- Hữu ích cho phép toán
- Cộng được cho các biến độc lập
Độ lệch chuẩn (σ)
- Cùng đơn vị với dữ liệu gốc
- Dễ diễn giải hơn
- Tốt hơn cho truyền đạt
- Dùng trong điểm z và khoảng tin cậy
Ứng dụng của phương sai
Dù độ lệch chuẩn được báo cáo phổ biến hơn, phương sai có những ứng dụng cụ thể:
- ANOVA:Phân tích phương sai so sánh trung bình giữa các nhóm
- Lý thuyết danh mục đầu tư:Phương sai lợi nhuận được dùng trong tối ưu hóa
- Hồi quy:R² là phương sai giải thích được chia cho tổng phương sai
- PCA:Phân tích thành phần chính tối đa hóa phương sai giải thích được