Σ
SDCalc

Công thức & Phương pháp

Tìm hiểu sâu về toán học đằng sau độ lệch chuẩn.

Suy dẫn toán học

Độ lệch chuẩn đo lường mức độ phân tán của các điểm dữ liệu so với giá trị trung bình. Nó được suy ra bằng cách tính căn bậc hai của trung bình bình phương độ lệch so với giá trị trung bình.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (tổng thể)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (mẫu)
  1. 1Tính giá trị trung bình (μ hoặc x̄) bằng cách cộng tất cả giá trị rồi chia cho số lượng.
  2. 2Trừ giá trị trung bình từ mỗi điểm dữ liệu để tìm độ lệch (xᵢ − μ).
  3. 3Bình phương mỗi độ lệch để loại bỏ giá trị âm (xᵢ − μ)².
  4. 4Cộng tất cả bình phương độ lệch: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Chia cho N (tổng thể) hoặc n−1 (mẫu) để có phương sai.
  6. 6Lấy căn bậc hai của phương sai để có độ lệch chuẩn.

Giải thích hiệu chỉnh Bessel

Khi ước lượng phương sai tổng thể từ mẫu, chia cho n tạo ra ước lượng chệch, hệ thống đánh giá thấp phương sai thực. Friedrich Bessel đã chỉ ra rằng chia cho (n − 1) thay vì n sẽ hiệu chỉnh sai lệch này. Trực giác là mẫu kích thước n chỉ có (n − 1) bậc tự do vì trung bình mẫu đã được sử dụng trong tính toán, ràng buộc một trong các độ lệch.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← không chệch
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← chệch
  1. 1Với n điểm dữ liệu, khi đã biết trung bình, chỉ có (n − 1) độ lệch có thể tự do thay đổi.
  2. 2Sử dụng n ở mẫu số có xu hướng ước lượng thấp phương sai tổng thể.
  3. 3Sử dụng (n − 1) cung cấp ước lượng không chệch: E[s²] = σ².
  4. 4Với mẫu lớn (n > 30), sự khác biệt là không đáng kể.
  5. 5Với mẫu nhỏ, hiệu chỉnh có thể cải thiện đáng kể ước lượng.

Hướng dẫn tính toán trực quan

Hiểu độ lệch chuẩn dễ dàng hơn với cách tiếp cận trực quan từng bước. Xem xét tập dữ liệu {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Giá trị trung bình là 5,25. Mỗi điểm dữ liệu lệch khỏi trung bình một lượng khác nhau. Bình phương các độ lệch này, cộng chúng lại, chia cho (n − 1) = 7 và lấy căn bậc hai cho độ lệch chuẩn mẫu s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Liệt kê tất cả giá trị dữ liệu và tính trung bình: x̄ = 5,25.
  2. 2Tìm mỗi độ lệch: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Bình phương mỗi độ lệch: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Cộng các bình phương độ lệch: 43,5.
  5. 5Chia cho (n−1) = 7: phương sai s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Lấy căn bậc hai: s ≈ 2,49.

Trích dẫn học thuật

Khi sử dụng máy tính này trong công việc học thuật, bạn có thể trích dẫn như sau. Máy tính triển khai các công thức tiêu chuẩn cho cả độ lệch chuẩn tổng thể và mẫu như được định nghĩa trong các sách giáo khoa thống kê nhập môn.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app