Объединённое стандартное отклонение для нескольких групп

Что такое объединённое стандартное отклонение?

Объединённое стандартное отклонение комбинирует оценки дисперсии из двух или более групп, чтобы получить единую взвешенную оценку. Оно необходимо для двухвыборочных t-критериев при допущении равенства дисперсий.

Идея проста: если мы полагаем, что две группы происходят из совокупностей с одинаковой вариабельностью, мы можем объединить их данные для получения лучшей оценки этой общей вариабельности. Больше данных — более точная оценка.

Представьте: у вас 20 наблюдений из группы A и 30 из группы B, и обе группы имеют одинаковую истинную дисперсию. Теперь у вас 50 наблюдений для оценки этой дисперсии вместо раздельных оценок по меньшим выборкам.

Когда объединять

Объединяйте стандартные отклонения только при наличии оснований полагать, что дисперсии генеральных совокупностей равны. Для проверки этого допущения используйте критерий Левена или F-критерий.

Формула объединённого СО

Для двух групп объединённое стандартное отклонение рассчитывается как:

Объединённое СО для двух групп

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

Где n₁ и n₂ — объёмы выборок, а s₁ и s₂ — выборочные стандартные отклонения.

Для k групп (как в дисперсионном анализе) формула обобщается:

Объединённое СО для нескольких групп

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

Обратите внимание, что формула использует множители (n-1) как в числителе, так и в знаменателе. Такое взвешивание гарантирует, что более крупные выборки вносят больший вклад в объединённую оценку, что обосновано, поскольку крупные выборки дают более надёжные оценки дисперсии.

Предпосылки

Объединённое стандартное отклонение предполагает однородность дисперсий — то есть все группы имеют одинаковую дисперсию в генеральной совокупности. Это допущение особенно важно, когда:

Объёмы выборок неравны (особенно проблематично, если более крупная группа имеет меньшую дисперсию)
Отношение наибольшей дисперсии к наименьшей превышает 2–3
Объёмы выборок малы (большие выборки более устойчивы к нарушениям)

Когда дисперсии различаются

Если дисперсии неравны, используйте t-критерий Уэлча вместо объединённого t-критерия или применяйте раздельные оценки дисперсий. Критерий Уэлча не предполагает равенства дисперсий и часто рекомендуется как подход по умолчанию.

Решённый пример

Задача: Сравнение результатов экзамена между двумя классами:

Класс A: n₁ = 25, среднее = 78, s₁ = 12
Класс B: n₂ = 30, среднее = 82, s₂ = 14

Расчёт объединённого СО:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172,45 = 13,13

Объединённое СО 13,13 находится между индивидуальными СО (12 и 14), с весом в сторону большей выборки. Это объединённое значение затем используется в формуле t-критерия или при расчёте d Коэна.

Статистические применения

Двухвыборочный t-критерий: объединённое СО используется для расчёта стандартной ошибки разности средних.
d Коэна: размер эффекта стандартизируется с помощью объединённого СО: d = (M₁ - M₂) / sp
Дисперсионный анализ (ANOVA): среднеквадратичная ошибка (MSE) в ANOVA по сути является объединённой оценкой дисперсии по всем группам.
Мета-анализ: при объединении исследований объединённые оценки помогают стандартизировать эффекты в различных контекстах.

← Центр обучения