Écart type d’échantillon ou de population : lequel utiliser ?

Vue d’ensemble

L’une des questions les plus fréquentes en statistique est : « Faut-il diviser par n ou par n-1 ? » La réponse dépend du fait que l’on travaille avec une population entière ou seulement avec un échantillon.

Population (N)

À utiliser lorsque vous disposez des données de chaque membre du groupe étudié. σ = √[Σ(x-μ)² / N]

Échantillon (n-1)

À utiliser lorsque vous disposez des données d’un sous-ensemble de la population plus large. s = √[Σ(x-x̄)² / (n-1)]

Écart type de population (σ)

L’écart type de population s’utilise lorsque l’on dispose des mesures de chaque membre du groupe analysé. En pratique, cette situation est relativement rare.

Exemples de vraies populations :

Les 50 employés d’une petite entreprise
Tous les élèves d’une classe de 30
L’ensemble des transactions d’un exercice fiscal clôturé
Les données complètes d’un recensement national

Écart type d’échantillon (s)

L’écart type d’échantillon s’utilise lorsque l’on travaille avec un sous-ensemble d’une population plus large. C’est le cas de figure le plus courant en analyse de données.

Exemples d’échantillons :

Interroger 1 000 électeurs pour prédire les résultats d’une élection
Tester 50 produits sur un lot de production de 10 000
Mesurer la tension artérielle de 200 patients dans une étude clinique
Analyser 5 années de données boursières pour prévoir la volatilité future

La correction de Bessel expliquée

La correction de Bessel est la raison pour laquelle on utilise (n-1) au lieu de n lors du calcul de l’écart type d’échantillon. Nommée d’après le mathématicien allemand Friedrich Bessel, cette correction produit une estimation non biaisée de la variance de la population.

Pourquoi (n-1) fonctionne

Lorsque vous calculez une moyenne d’échantillon, vous « consommez » un degré de liberté. La moyenne de l’échantillon contraint les données : une fois que vous connaissez n-1 valeurs et la moyenne, la dernière valeur est déterminée. Diviser par (n-1) corrige cette perte de liberté.

Intuition mathématique

Les observations d’un échantillon ont tendance à se regrouper davantage autour de la moyenne de l’échantillon que de la vraie moyenne de la population. Cela fait que la somme des écarts au carré est systématiquement plus petite qu’elle ne devrait l’être.

Diviser par (n-1) au lieu de n gonfle légèrement le résultat, compensant cette sous-estimation et produisant une estimation non biaisée.

Quand utiliser chacun

Scénario	Utiliser	Diviser par
Vous disposez de toutes les données existantes	Écart type de population (σ)	N
Vous décrivez uniquement les données que vous possédez	Écart type de population (σ)	N
Vous estimez pour une population plus large	Écart type d’échantillon (s)	n-1
Vous utiliserez l’écart type pour des statistiques inférentielles	Écart type d’échantillon (s)	n-1

Règle générale

En cas de doute, utilisez l’écart type d’échantillon (n-1). C’est plus prudent parce que : - La plupart des données réelles proviennent d’échantillons, pas de populations complètes - Utiliser n-1 sur une vraie population surestime légèrement (plus sûr que de sous-estimer) - Pour un grand n, la différence est négligeable

Exemples pratiques

Exemple : Contrôle qualité

Une usine produit 10 000 pièces par jour. Le contrôle qualité teste 100 pièces et constate que leur poids a une moyenne de 50 g. Réponse : Utilisez l’écart type d’échantillon (n-1) car les 100 pièces constituent un échantillon des 10 000 produites. Vous utilisez cet échantillon pour estimer la variabilité de l’ensemble des pièces.

Exemple : Notes de classe

Une enseignante souhaite décrire la variabilité des notes de sa classe de 25 élèves. Elle ne cherche pas à généraliser à d’autres classes. Réponse : Utilisez l’écart type de population (N) car elle dispose des notes de toute la classe (sa population d’intérêt) et ne fait pas d’inférence sur d’autres groupes.

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