Écart type géométrique : guide complet

Quand utiliser l’écart type géométrique

L’écart type géométrique (GSD) est la mesure de dispersion adaptée aux données de nature multiplicative plutôt qu’additive — comme les taux de croissance, les ratios, les concentrations ou toute mesure suivant une distribution log-normale.

Prenons les rendements boursiers : un gain de 10 % suivi d’une perte de 10 % ne ramène pas à l’équilibre (on obtient 99 % du montant initial). Ces relations multiplicatives nécessitent des statistiques géométriques plutôt qu’arithmétiques.

Comprendre les données log-normales

Les données sont log-normales lorsque leur logarithme naturel suit une distribution normale. Exemples courants :

• Cours des actions et rendements d’investissement dans le temps
• Distributions de revenus et de patrimoine
• Tailles de particules dans les aérosols et les produits pharmaceutiques
• Comptages de colonies bactériennes et charges virales
• Concentrations de polluants environnementaux
• Titres d’anticorps et concentrations de médicaments

La caractéristique clé : les processus impliquant des multiplications répétées génèrent des distributions log-normales, tout comme les additions répétées génèrent des distributions normales.

Formule et calcul

Ou plus simplement : prendre le logarithme naturel de toutes les valeurs, calculer l’écart type classique, puis exponentier.

import numpy as np
from scipy import stats

def geometric_sd(data):
    """Calculate geometric standard deviation"""
    log_data = np.log(data)
    sd_log = np.std(log_data, ddof=1)
    return np.exp(sd_log)

def geometric_mean(data):
    """Calculate geometric mean"""
    return stats.gmean(data)

# Example: Antibody titers (highly variable, log-normal)
titers = [64, 128, 256, 128, 512, 64, 256]
gm = geometric_mean(titers)
gsd = geometric_sd(titers)
print(f"Geometric Mean: {gm:.1f}")
print(f"Geometric SD: {gsd:.2f}")

Interpréter les valeurs de GSD

Contrairement à l’écart type arithmétique qui est dans les mêmes unités que les données, le GSD est un facteur multiplicatif — un ratio. Un GSD de 2,0 signifie que les données varient typiquement d’un facteur 2.

• GSD = 1,0:Aucune variation (impossible en pratique)
• GSD ≈ 1,2:Faible variabilité (±20 % typiquement)
• GSD ≈ 2,0:Variabilité modérée (les données doublent/sont divisées par deux)
• GSD ≈ 3,0:Forte variabilité (couvre un ordre de grandeur)

Applications concrètes

GSD vs écart type classique

Utiliser l’écart type arithmétique sur des données log-normales donne des résultats trompeurs :