Stichprobe vs. Population: Wann welche Standardabweichung verwenden

Überblick

Eine der häufigsten Fragen in der Statistik lautet: "Soll ich durch n oder n-1 teilen?" Die Antwort hängt davon ab, ob Sie mit einer gesamten Population oder nur einer Stichprobe arbeiten.

Population (N)

Verwenden Sie diese, wenn Sie Daten für jedes Mitglied der untersuchten Gruppe haben. σ = √[Σ(x-μ)² / N]

Stichprobe (n-1)

Verwenden Sie diese, wenn Sie Daten von einer Teilmenge der größeren Population haben. s = √[Σ(x-x̄)² / (n-1)]

Populationsstandardabweichung (σ)

Die Populationsstandardabweichung wird verwendet, wenn Sie Messwerte von ausnahmslos jedem Mitglied der analysierten Gruppe haben. In der Praxis kommt dies relativ selten vor.

Beispiele für echte Populationen:

Alle 50 Mitarbeiter eines kleinen Unternehmens
Jeder Schüler einer bestimmten Klasse mit 30 Schülern
Alle Transaktionen eines abgeschlossenen Geschäftsjahres
Vollständige Volkszählungsdaten eines Landes

Stichprobenstandardabweichung (s)

Die Stichprobenstandardabweichung wird verwendet, wenn Sie mit einer Teilmenge einer größeren Population arbeiten. Dies ist das häufigere Szenario in der Praxis.

Beispiele für Stichproben:

Befragung von 1.000 Wählern zur Vorhersage von Wahlergebnissen
Prüfung von 50 Produkten aus einer Charge von 10.000
Blutdruckmessung von 200 Patienten in einer klinischen Studie
Analyse von 5 Jahren Aktiendaten zur Prognose künftiger Volatilität

Die Bessel-Korrektur erklärt

Die Bessel-Korrektur ist der Grund, warum wir bei der Berechnung der Stichprobenstandardabweichung (n-1) statt n verwenden. Benannt nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Bessel, liefert diese Anpassung eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz.

Warum (n-1) funktioniert

Wenn Sie einen Stichprobenmittelwert berechnen, "verbrauchen" Sie einen Freiheitsgrad. Der Stichprobenmittelwert schränkt die Daten ein — sobald Sie n-1 Werte und den Mittelwert kennen, ist der letzte Wert festgelegt. Die Division durch (n-1) korrigiert diesen Verlust an Freiheitsgraden.

Mathematische Intuition

Stichprobendatenpunkte neigen dazu, sich näher am Stichprobenmittelwert zu gruppieren als am wahren Populationsmittelwert. Dadurch fällt die Summe der quadrierten Abweichungen systematisch kleiner aus als sie sein sollte.

Die Division durch (n-1) statt n erhöht das Ergebnis leicht und gleicht diese Unterschätzung aus, um eine erwartungstreue Schätzung zu liefern.

Wann welche verwenden

Szenario	Verwenden	Teilen durch
Sie haben alle existierenden Datenpunkte	Populations-SD (σ)	N
Sie beschreiben nur die vorliegenden Daten	Populations-SD (σ)	N
Sie schätzen für eine größere Population	Stichproben-SD (s)	n-1
Sie verwenden SD für schließende Statistik	Stichproben-SD (s)	n-1

Faustregel

Im Zweifelsfall verwenden Sie die Stichprobenstandardabweichung (n-1). Das ist sicherer, weil: - Die meisten realen Daten aus Stichproben stammen, nicht aus vollständigen Populationen - Die Verwendung von n-1 bei einer echten Population leicht überschätzt (sicherer als Unterschätzen) - Bei großem n der Unterschied ohnehin vernachlässigbar ist

Praxisbeispiele

Beispiel: Qualitätskontrolle

Eine Fabrik produziert 10.000 Bauteile pro Tag. Die Qualitätskontrolle prüft 100 Bauteile und ermittelt ein Durchschnittsgewicht von 50 g. Antwort: Verwenden Sie die Stichproben-SD (n-1), da 100 Bauteile eine Stichprobe der 10.000 produzierten darstellen. Sie verwenden diese Stichprobe, um die Variabilität aller Bauteile zu schätzen.

Beispiel: Klassennoten

Eine Lehrerin möchte die Streuung der Testergebnisse ihrer Klasse von 25 Schülern beschreiben. Sie versucht nicht, auf andere Klassen zu verallgemeinern. Antwort: Verwenden Sie die Populations-SD (N), da sie die Ergebnisse der gesamten Klasse (ihre relevante Population) hat und keine Rückschlüsse auf andere Gruppen zieht.

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