Was ist eine Normalverteilung?
Die Normalverteilung, auch Gauß-Verteilung oder "Glockenkurve" genannt, ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik. Sie beschreibt, wie Datenwerte um einen zentralen Mittelwert verteilt sind.
The Classic Bell Curve
Die Normalverteilung wird vollständig durch nur zwei Parameter definiert: den Mittelwert (μ), der das Zentrum bestimmt, und die Standardabweichung (σ), die die Streuung bestimmt.
Wichtige Eigenschaften
Symmetrie
Mittelwert = Median = Modus
Asymptotisch
Gesamtfläche = 1
Wie die Standardabweichung die Form beeinflusst
Die Standardabweichung bestimmt die "Breite" der Normalverteilung. Ein kleineres σ erzeugt eine hohe, schmale Kurve; ein größeres σ erzeugt eine flache, breite Kurve.
Visual Comparison
Low SD (σ = 0.5)
Data clustered tightly around the mean
High SD (σ = 2)
Data spread widely from the mean
Z-Werte und Standardisierung
Ein Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Damit lassen sich Werte aus verschiedenen Normalverteilungen vergleichen.
Z-Wert-Formel
| Z-Wert | Bedeutung | Perzentil |
|---|---|---|
| -2 | 2 SD unter dem Mittelwert | ~2,3 % |
| -1 | 1 SD unter dem Mittelwert | ~15,9 % |
| 0 | Beim Mittelwert | 50 % |
| +1 | 1 SD über dem Mittelwert | ~84,1 % |
| +2 | 2 SD über dem Mittelwert | ~97,7 % |
Praxisbeispiele
Viele natürliche Phänomene folgen einer Normalverteilung:
- Körpergröße:Die meisten Menschen haben eine durchschnittliche Körpergröße, mit wenigen sehr großen oder sehr kleinen Personen
- IQ-Werte:So konzipiert, dass sie einer Normalverteilung mit Mittelwert 100 und SD 15 folgen
- Messfehler:Zufällige Fehler bei wissenschaftlichen Messungen
- Blutdruck:Blutdruckwerte in der Bevölkerung
Wenn Daten nicht normalverteilt sind
Nicht alle Daten folgen einer Normalverteilung. Vorsicht bei:
Nicht-normale Verteilungen