Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall (KI) ist ein Wertebereich, der den wahren Populationsparameter wahrscheinlich enthält. Statt einer einzelnen Punktschätzung berücksichtigt ein KI die Unsicherheit, indem es einen Bereich angibt.
"Wir sind zu 95 % zuversichtlich, dass der wahre Mittelwert zwischen 48,2 und 51,8 liegt"
95% CI: [48.2, 51.8]
Die Formel
Das Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert lautet:
Konfidenzintervall-Formel
CI = x̄ ± z* × (σ / √n)
- x̄ = Stichprobenmittelwert
- z* = kritischer Wert (1,96 für 95 %-KI)
- σ = Standardabweichung
- n = Stichprobengröße
- σ/√n = Standardfehler
| Konfidenzniveau | z*-Wert |
|---|---|
| 90 % | 1,645 |
| 95 % | 1,960 |
| 99 % | 2,576 |
Korrekte Interpretation
Häufiges Missverständnis
Ein 95 %-KI bedeutet NICHT "es besteht eine 95 %-Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Mittelwert in diesem Intervall liegt." Der wahre Mittelwert liegt entweder im Intervall oder nicht — er ist ein fester Wert.
Korrekte Interpretation
"Wenn wir diesen Stichprobenprozess viele Male wiederholen würden, würden 95 % der berechneten Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten."
Rechenbeispiele
Beispiel: Kundenzufriedenheit
Sie befragen 100 Kunden und ermitteln eine mittlere Zufriedenheitsbewertung von 7,5 mit einer Standardabweichung von 1,5. Berechnen Sie das 95 %-KI.
1
Standardfehler berechnen
SE = 1,5 / √100 = 0,15
2
Fehlerspanne berechnen
ME = 1,96 × 0,15 = 0,294
3
Intervall erstellen
KI = 7,5 ± 0,294 = [7,21; 7,79]
Interpretation: Wir sind zu 95 % zuversichtlich, dass die wahre mittlere Kundenzufriedenheit zwischen 7,21 und 7,79 liegt.
Was beeinflusst die KI-Breite?
Stichprobengröße (n)
Größeres n = schmaleres KI
Mehr Daten = mehr Präzision
Standardabweichung (σ)
Größeres σ = breiteres KI
Mehr Variabilität = weniger Sicherheit
Konfidenzniveau
Höheres Konfidenzniveau = breiteres KI
99 %-KI ist breiter als 95 %-KI