شرح معادلة الانحراف المعياري: دليلك الشامل خطوة بخطوة

ما هي معادلة الانحراف المعياري؟

تُعد معادلة الانحراف المعياري المعادلة الرياضية المستخدمة لقياس مقدار التباين أو التشتت في مجموعة من القيم البيانية. يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى أن نقاط البيانات تميل إلى التركز بالقرب من المتوسط (μ أو x̄)، بينما يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى أن نقاط البيانات موزعة على نطاق أوسع من القيم.

في علم الإحصاء، تعتمد المعادلة التي ينبغي استخدامها على ما إذا كنت تعمل مع مجتمع إحصائي كامل أم مع عينة مسحوبة من ذلك المجتمع. يتلخص المفهوم الأساسي في حساب متوسط مربعات الانحرافات عن المتوسط، وهو ما يُعرف بـ التباين (σ²)، ثم أخذ الجذر التربيعي لإعادة القياس إلى وحدات البيانات الأصلية.

• σ (سيجما): الانحراف المعياري للمجتمع
• Σ (سيجما): مجموع...
• xi: كل قيمة فردية في مجموعة البيانات
• μ (مو): متوسط المجتمع
• N: العدد الإجمالي لنقاط البيانات في المجتمع

الانحراف المعياري للمجتمع مقابل العينة

في تحليل البيانات الواقعي، نادراً ما تتوفر لدينا بيانات لجميع أفراد المجتمع الإحصائي. في أغلب الأحيان، نقوم بجمع عينة لاستنتاج خصائص المجتمع الأكبر. ونظراً لأن العينة تُقدر متوسط المجتمع فقط، فإن حساب الانحراف المعياري باستخدام معادلة المجتمع على عينة ما يؤدي باستمرار إلى التقليل من التقدير الحقيقي للتشتت. ولتصحيح هذا التحيز، نستخدم معادلة الانحراف المعياري للعينة.

حساب المعادلة خطوة بخطوة

يتطلب حساب الانحراف المعياري يدوياً منهجية واضحة. باتباع هذه الخطوات، يمكنك حساب الانحراف المعياري للمجتمع أو العينة بدقة لأي مجموعة بيانات.

لماذا تقسم معادلة العينة على n-1؟

القسمة على n-1 بدلاً من n هو مفهوم يُعرف بـ تصحيح بيسل. نظراً لأن متوسط العينة (x̄) يُحسب من بيانات العينة نفسها، فإن الانحرافات (xi - x̄) تكون مقيدة رياضياً بحيث يكون مجموعها صفراً. هذا يعني أن نقاط البيانات أقرب قليلاً إلى متوسط العينة مقارنة بمتوسط المجتمع الحقيقي (μ).

بالقسمة على n-1 (وهي ما يُعرف بـ درجات الحرية)، نقوم بزيادة التباين بالقدر الكافي لتعويض هذا التقليل في التقدير، مما يوفر لنا مقدراً غير متحيز لتباين المجتمع.