Cohen's d 與效果量計算

超越統計顯著性：認識效果量

效果量衡量差異或關係的大小，與樣本數無關。雖然 p 值告訴你某個效果是否具有統計顯著性，但效果量告訴你這個效果在實務上有多大意義。這個區別對於研究、醫學、教育和商業中的循證決策至關重要。

想像一個製藥試驗，新藥相比安慰劑有統計顯著的改善（p < 0.001）。但如果不看效果量，你不知道改善的幅度是 0.1% 還是 50%。效果量提供了這個關鍵的背景資訊，幫助決策者判斷這個效果是否值得承擔成本、副作用或實施的努力。

比較兩組最常用的效果量是 Cohen's d，它以標準差為單位來表示平均數的差異。這種標準化讓你可以跨不同研究和測量尺度進行比較。

為什麼效果量很重要

統計顯著性受樣本數的影響很大。當樣本數夠大時，即使微小的差異也會變得“顯著”。反之，重要的效果在小樣本中可能達不到顯著水準。效果量解決了這個問題，提供一個不受樣本數影響的量度。

使用效果量的關鍵原因：

• 統合分析： 效果量可以跨研究合併，以估計整體效果
• 統計力分析： 計算未來研究所需的樣本數時必須用到
• 實務決策： 幫助判斷某項介入措施是否值得實施
• 重複研究： 為重複實驗提供一個目標來比對

Cohen's d：標準效果量指標

Cohen's d 以合併標準差為單位來表示兩組平均數的差異：

其中 M₁ 和 M₂ 是兩組平均數，sp 是合併標準差，計算方式如下：

d 的正負號表示方向：M₁ > M₂ 時為正，M₁ < M₂ 時為負。當方向從情境中顯而易見時，通常報告絕對值 |d|。

其他效果量指標

Cohen's d 最常用，但特定情況下有其他選擇：

Hedges' g：偏差校正的效果量

Cohen's d 在小樣本中會稍微高估母體效果量。Hedges' g 加入了一個校正因子：

每組樣本數超過 20 時，差異微乎其微。小樣本（n < 20）時，建議使用 Hedges' g。

Glass's Δ：當變異數不等時

當其中一組是已知變異性的控制組時，只使用控制組的標準差作為分母：

這在處理可能影響變異數的介入措施時很有用（例如，一項幫助低分者比高分者更多的介入）。

效果量解讀：Cohen 的準則

Jacob Cohen 提出了以下解讀 d 值的慣例：

計算範例：教育介入

一所學校測試新的閱讀計畫。控制組（n=25）：平均數=72，標準差=12。實驗組（n=30）：平均數=79，標準差=14。計算 Cohen's d：

這意味著如果你隨機從實驗組和控制組各挑一名學生，實驗組學生分數較高的機率大約是 64%（根據重疊度計算）。

Python 實作

以程式計算效果量及其信賴區間：

import numpy as np
from scipy import stats

def cohens_d(group1, group2):
    """Calculate Cohen's d for two independent groups."""
    n1, n2 = len(group1), len(group2)
    var1, var2 = np.var(group1, ddof=1), np.var(group2, ddof=1)

    # Pooled standard deviation
    pooled_std = np.sqrt(((n1-1)*var1 + (n2-1)*var2) / (n1+n2-2))

    # Cohen's d
    d = (np.mean(group1) - np.mean(group2)) / pooled_std
    return d

def hedges_g(group1, group2):
    """Calculate Hedges' g (bias-corrected effect size)."""
    n1, n2 = len(group1), len(group2)
    d = cohens_d(group1, group2)

    # Correction factor for small sample bias
    correction = 1 - 3 / (4*(n1+n2) - 9)
    return d * correction

# Example usage
control = [68, 72, 75, 70, 69, 74, 71, 73, 76, 72]
treatment = [75, 79, 82, 78, 80, 77, 81, 76, 83, 79]

d = cohens_d(treatment, control)
g = hedges_g(treatment, control)
print(f"Cohen's d: {d:.3f}")
print(f"Hedges' g: {g:.3f}")