Зважене стандартне відхилення

Що таке зважене стандартне відхилення?

Коли точки даних мають різні рівні важливості або представляють різні частоти, ми використовуємо зважене стандартне відхилення. Це поширена практика в аналізі портфелів, обробці даних опитувань із вибірковими вагами та обчисленні середнього балу успішності (GPA).

У стандартних (незважених) обчисленнях кожна точка даних вносить однаковий внесок у середнє та стандартне відхилення. Але реальні сценарії часто потребують надання деяким спостереженням більшого впливу. Інвестиція в 1 мільйон доларів має впливати на розрахунок волатильності портфеля більше, ніж позиція в 1 000 доларів. Відповідь респондента з більшої демографічної групи має мати більшу вагу при оцінці параметрів генеральної сукупності.

Коли використовувати зважене СВ

Використовуйте зважене стандартне відхилення, коли точки даних мають різну важливість, частоту або рівень надійності. Незважене СВ передбачає, що всі точки однаково важливі — що часто є неправильним припущенням.

Формула зваженого СВ

Спочатку потрібно обчислити зважене середнє:

Weighted Mean

x̄w = Σ(wᵢxᵢ) / Σwᵢ

Потім зважене стандартне відхилення (генеральне):

Weighted Standard Deviation (Population)

σw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / Σwᵢ]

Де wᵢ — ваги, xᵢ — значення даних, а x̄w — зважене середнє.

Для вибіркових даних використовується формула з корекцією зміщення (аналог поправки Бесселя):

Weighted Standard Deviation (Sample)

sw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / (Σwᵢ - Σwᵢ²/Σwᵢ)]

Вибіркова корекція є складнішою, оскільки “ефективний обсяг вибірки” залежить від розподілу ваг. Якщо всі ваги рівні, це зводиться до звичної корекції n-1.

Покрокове обчислення

Обчислити зважене середнє

Помножте кожне значення на його вагу, підсумуйте добутки та поділіть на суму ваг.

Обчислити зважені квадрати відхилень

Для кожного значення знайдіть (значення - зважене середнє)², потім помножте на вагу.

Підсумувати зважені квадрати відхилень

Додайте всі добутки з кроку 2.

Поділити на суму ваг

Для генерального СВ поділіть на Σwᵢ. Для вибіркового СВ використовуйте корекцію зміщення.

Обчислити квадратний корінь

Остаточне зважене стандартне відхилення.

Застосування в реальному світі

Волатильність портфеля: у фінансах стандартне відхилення портфеля має враховувати різний розподіл активів. Волатильність портфеля з 50% акцій та 50% облігацій обчислюється за допомогою зваженого СВ, де ваги — це відсотки розподілу.

Аналіз опитувань: вибірки опитувань часто надмірно або недостатньо представляють певні демографічні групи. Зважування коригує це, забезпечуючи відображення результатами справжньої генеральної сукупності. Зважене СВ фіксує варіабельність у генеральній сукупності, а не лише у вибірці.

Академічне оцінювання: при обчисленні середнього балу різні курси мають різну кількість кредитних годин. Курс на 4 кредити має впливати на ваш середній бал більше, ніж курс на 1 кредит. Зважені обчислення природно це враховують.

Метааналіз: при об’єднанні результатів кількох досліджень кожне дослідження зважується за його точністю (часто обернена дисперсія). Це надає більшого впливу більшим, точнішим дослідженням.

Розібрані приклади

Приклад з портфелем: розглянемо портфель із трьох акцій:

Акція A: дохідність 15%, частка 50% (вага = 0,50)
Акція B: дохідність 8%, частка 30% (вага = 0,30)
Акція C: дохідність -2%, частка 20% (вага = 0,20)

Зважене середнє = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%

Зважене СВ = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%

Зверніть увагу на вплив

Акція C має лише 20% частку, але вносить значний внесок у волатильність, оскільки її дохідність суттєво відхиляється від зваженого середнього. Саме це й фіксує зважене СВ — мають значення і відхилення, і вага.

← Центр навчання