Об’єднане стандартне відхилення для кількох груп

Що таке об’єднане стандартне відхилення?

Об’єднане стандартне відхилення поєднує оцінки дисперсії з двох або більше груп для отримання єдиної зваженої оцінки. Воно є необхідним для двовибіркових t-тестів за умови рівності дисперсій.

Концепція є інтуїтивно зрозумілою: якщо ми вважаємо, що дві групи походять із генеральних сукупностей з однаковою варіабельністю, ми можемо об’єднати їхні дані для отримання кращої оцінки цієї спільної варіабельності. Більше даних означає точнішу оцінку.

Уявіть це так: якщо у вас є 20 спостережень із групи A та 30 із групи B, і обидві групи мають однакову справжню дисперсію, тепер у вас є 50 спостережень для оцінки цієї дисперсії замість окремого оцінювання з менших вибірок.

Коли об’єднувати

Об’єднуйте стандартні відхилення лише тоді, коли є підстави вважати, що дисперсії генеральних сукупностей рівні. Використовуйте тест Левена або F-тест для перевірки цього припущення перед об’єднанням.

Формула об’єднаного СВ

Для двох груп об’єднане стандартне відхилення обчислюється як:

Two-Group Pooled SD

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

Де n₁ та n₂ — обсяги вибірок, а s₁ та s₂ — вибіркові стандартні відхилення.

Для k груп (як у дисперсійному аналізі) формула узагальнюється:

Multi-Group Pooled SD

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

Зверніть увагу, що формула використовує множники (n-1) як у чисельнику, так і в знаменнику. Таке зважування забезпечує більший внесок більших вибірок до об’єднаної оцінки, що є обґрунтованим, оскільки більші вибірки дають надійніші оцінки дисперсії.

Базові припущення

Об’єднане стандартне відхилення передбачає однорідність дисперсій — що всі групи мають однакову дисперсію генеральної сукупності. Це припущення є найважливішим, коли:

Обсяги вибірок нерівні (особливо проблематично, якщо більша група має меншу дисперсію)
Відношення найбільшої до найменшої дисперсії перевищує 2–3
Обсяги вибірок малі (великі вибірки стійкіші до порушень)

Коли дисперсії різняться

Якщо дисперсії нерівні, використовуйте t-тест Велча замість об’єднаного t-тесту або окремі оцінки дисперсій. Тест Велча не припускає рівності дисперсій і часто рекомендується як метод за замовчуванням.

Розібраний приклад

Сценарій: порівняння результатів тестів двох класів:

Клас A: n₁ = 25, середнє = 78, s₁ = 12
Клас B: n₂ = 30, середнє = 82, s₂ = 14

Обчислення об’єднаного СВ:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172,45 = 13,13

Об’єднане СВ, рівне 13,13, знаходиться між індивідуальними СВ (12 та 14), зміщене до більшої вибірки. Це об’єднане значення потім використовується у формулі t-тесту або обчисленні d Коена.

Статистичні застосування

t-тест для незалежних вибірок: об’єднане СВ використовується для обчислення стандартної похибки різниці середніх.
Розмір ефекту d Коена: розміри ефектів стандартизуються за допомогою об’єднаного СВ: d = (M₁ - M₂) / sp
Дисперсійний аналіз (ANOVA): середній квадрат похибки (MSE) в ANOVA є, по суті, об’єднаною оцінкою дисперсії по всіх групах.
Метааналіз: при об’єднанні досліджень об’єднані оцінки допомагають стандартизувати ефекти в різних контекстах.

← Центр навчання