Σ
SDCalc
İleriİleri Düzey·14 min

Ağırlıklı Standart Sapma

Veri noktalarının farklı önem düzeylerine veya frekanslarına sahip olduğunda ağırlıklı standart sapmayı nasıl hesaplayacağınızı öğrenin.

Ağırlıklı Standart Sapma Nedir?

Veri noktaları farklı önem düzeylerine sahip olduğunda veya farklı frekansları temsil ettiğinde ağırlıklı standart sapma kullanırız. Bu, portföy analizi, örnekleme ağırlıklarına sahip anket verileri ve not ortalaması hesaplamalarında yaygındır.

Standart (ağırlıksız) hesaplamalarda her veri noktası ortalama ve standart sapmaya eşit olarak katkıda bulunur. Ancak gerçek dünya senaryoları genellikle bazı gözlemlere diğerlerinden daha fazla etki verilmesini gerektirir. 1 milyon TL’lik bir yatırım, portföyünüzün oynaklık hesaplamasını 1.000 TL’lik bir pozisyondan daha fazla etkilemelidir. Daha büyük bir demografik gruptan gelen bir anket yanıtı, popülasyon parametrelerini tahmin ederken daha fazla ağırlık taşımalıdır.

Ağırlıklı SS Ne Zaman Kullanılır?

Veri noktalarınız farklı önem, frekans veya güvenilirlik düzeylerine sahip olduğunda ağırlıklı standart sapma kullanın. Ağırlıksız SS tüm noktaların eşit derecede önemli olduğunu varsayar—bu genellikle yanlış bir varsayımdır.

Ağırlıklı SS Formülü

Önce ağırlıklı ortalamaya ihtiyacınız var:

Ağırlıklı Ortalama

x̄w = Σ(wᵢxᵢ) / Σwᵢ

Ardından ağırlıklı standart sapma (popülasyon versiyonu):

Ağırlıklı Standart Sapma (Popülasyon)

σw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / Σwᵢ]

Burada wᵢ ağırlıklar, xᵢ veri değerleri ve x̄w ağırlıklı ortalamadır.

Örneklem verileri için yanlılık düzeltmeli formülü (Bessel düzeltmesine benzer) kullanın:

Ağırlıklı Standart Sapma (Örneklem)

sw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / (Σwᵢ - Σwᵢ²/Σwᵢ)]

Örneklem düzeltmesi daha karmaşıktır çünkü “etkin örneklem büyüklüğü” ağırlıkların dağılımına bağlıdır. Tüm ağırlıklar eşitse, bu bilinen n-1 düzeltmesine indirgenir.

Adım Adım Hesaplama

1

Ağırlıklı ortalamayı hesaplayın

Her değeri ağırlığıyla çarpın, bu çarpımları toplayın ve ağırlıkların toplamına bölün.
2

Ağırlıklı kare sapmaları hesaplayın

Her değer için (değer - ağırlıklı ortalama)² bulun, ardından ağırlıkla çarpın.
3

Ağırlıklı kare sapmaları toplayın

2. adımdaki tüm çarpımları toplayın.
4

Ağırlıkların toplamına bölün

Popülasyon SS için Σwᵢ’ye bölün. Örneklem SS için yanlılık düzeltmesini kullanın.
5

Karekök alın

Son ağırlıklı standart sapma.

Gerçek Dünya Uygulamaları

Portföy Oynaklığı: Finansta, portföy standart sapması farklı varlık dağılımlarını hesaba katmalıdır. %50 hisse senedi, %50 tahvil portföyünün oynaklığı, ağırlıkların dağılım yüzdeleri olduğu ağırlıklı SS kullanılarak hesaplanır.

Anket Analizi: Anket örneklemleri genellikle belirli demografik grupları fazla veya eksik temsil eder. Ağırlıklandırma bunu düzelterek sonuçların sadece örneklemi değil, gerçek popülasyonu yansıtmasını sağlar. Ağırlıklı SS, popülasyondaki değişkenliği yakalar.

Akademik Not Hesaplama: Not ortalaması hesaplanırken farklı derslerin farklı kredi saatleri vardır. 4 kredilik bir ders, not ortalamanızı 1 kredilik bir dersten daha fazla etkilemelidir. Ağırlıklı hesaplamalar bunu doğal olarak yönetir.

Meta-Analiz: Birden fazla çalışmanın sonuçlarını birleştirirken, her çalışma hassasiyetine (genellikle ters varyans) göre ağırlıklandırılır. Bu, daha büyük ve daha hassas çalışmalara daha fazla etki verir.

Çözümlü Örnekler

Portföy Örneği: Üç hisse senedine sahip bir portföyü düşünün:

  • Hisse A: %15 getiri, %50 dağılım (ağırlık = 0,50)
  • Hisse B: %8 getiri, %30 dağılım (ağırlık = 0,30)
  • Hisse C: -%2 getiri, %20 dağılım (ağırlık = 0,20)

Ağırlıklı ortalama = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = %9,5

Ağırlıklı SS = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = %6,5

Etkiyi Fark Edin

Hisse C yalnızca %20 dağılıma sahip olmasına rağmen, getirisi ağırlıklı ortalamadan önemli ölçüde saptığı için oynaklığa büyük katkıda bulunur. Ağırlıklı SS’nin yakaladığı tam olarak budur—hem sapma hem de ağırlık önemlidir.
← Öğrenme Merkezi