Σ
SDCalc

Formüller ve Metodoloji

Standart sapmanın arkasındaki matematiğe derinlemesine bakış.

Matematiksel Türetim

Standart sapma, veri noktalarının ortalamalarından ne kadar dağıldığını ölçer. Ortalamadan kare sapmaların ortalamasının karekökü hesaplanarak elde edilir.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (anakütle)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (örneklem)
  1. 1Tüm değerleri toplayıp sayıya bölerek ortalamayı (μ veya x̄) hesaplayın.
  2. 2Sapmayı bulmak için her veri noktasından ortalamayı çıkarın (xᵢ − μ).
  3. 3Negatif değerleri ortadan kaldırmak için her sapmayı kareleyin (xᵢ − μ)².
  4. 4Tüm kare sapmaları toplayın: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Varyansı elde etmek için N'ye (anakütle) veya n−1'e (örneklem) bölün.
  6. 6Standart sapmayı elde etmek için varyansın karekökünü alın.

Bessel Düzeltmesi Açıklaması

Bir örneklemden anakütle varyansı tahmin edilirken, n'ye bölmek gerçek varyansı sistematik olarak düşük tahmin eden yanlı bir tahmin üretir. Friedrich Bessel, n yerine (n − 1)'e bölmenin bu yanlılığı düzelttiğini göstermiştir. Sezgisel olarak, n büyüklüğündeki bir örneklem yalnızca (n − 1) serbestlik derecesine sahiptir çünkü örneklem ortalaması hesaplamada zaten kullanılmıştır ve bu, sapmalardan birini kısıtlar.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← yansız
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← yanlı
  1. 1n veri noktasıyla, ortalama bilindiğinde yalnızca (n − 1) sapma serbestçe değişebilir.
  2. 2Paydada n kullanmak anakütle varyansını düşük tahmin etme eğilimindedir.
  3. 3(n − 1) kullanmak yansız bir tahmin edici sağlar: E[s²] = σ².
  4. 4Büyük örneklemlerde (n > 30) fark önemsizdir.
  5. 5Küçük örneklemlerde düzeltme tahmini önemli ölçüde iyileştirebilir.

Görsel Hesaplama Kılavuzu

Standart sapmayı anlamak, adım adım görsel bir yaklaşımla daha kolaydır. {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1} veri setini düşünün. Ortalama 5,25'tir. Her veri noktası ortalamadan farklı miktarlarda sapma gösterir. Bu sapmaların karelenmesi, toplanması, (n − 1) = 7'ye bölünmesi ve karekökünün alınması örneklem standart sapması s ≈ 2,49 verir.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Tüm veri değerlerini listeleyin ve ortalamalarını hesaplayın: x̄ = 5,25.
  2. 2Her sapmayı bulun: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Her sapmayı kareleyin: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Kare sapmaları toplayın: 43,5.
  5. 5(n−1) = 7'ye bölün: varyans s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Karekökünü alın: s ≈ 2,49.

Akademik Alıntı

Bu hesaplayıcıyı akademik çalışmalarda kullanırken aşağıdaki şekilde alıntı yapabilirsiniz. Hesaplayıcı, giriş düzeyi istatistik ders kitaplarında tanımlandığı şekliyle hem anakütle hem de örneklem standart sapması için standart formülleri uygular.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app