Varyans Nedir?
Varyans, bir sayı kümesinin ortalama değerinden ne kadar uzağa yayıldığını ölçer. Ortalamadan kare farkların ortalamasıdır ve standart sapmanın üzerine inşa edildiği temeldir.
Her çubuk, ortalamadan kare sapmayı gösterir. Varyans = bu çubukların ortalaması.
Varyans Formülü
Popülasyon Varyansı
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Örneklem Varyansı
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Ortalamayı hesaplayın
Tüm değerleri toplayın ve sayıya bölün.
2
Her sapmayı bulun
Her veri noktasından ortalamayı çıkarın.
3
Her sapmayı kareleyin
Bu, negatif değerleri ortadan kaldırır ve büyük sapmaları vurgular.
4
Kare sapmaların ortalamasını alın
N’e (popülasyon) veya n-1’e (örneklem) bölün.
Sapmaları Neden Kare Alırız?
Üç Temel Neden
1. Negatifleri ortadan kaldırma: Kare almadan, pozitif ve negatif sapmalar birbirini götürür ve toplam sıfır olur.
2. Aykırı değerleri cezalandırma: Kare alma, ortalamadan uzak değerlere daha fazla ağırlık verir.
3. Matematiksel özellikler: Varyans, istatistiksel çıkarım için kullanışlı cebirsel özelliklere sahiptir.
Örnek: Neden Sadece Mutlak Değer Kullanmayalım?
Veri seti: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Ortalama = 5)
Ortalama Mutlak Sapma:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
OMS = 14/8 = 1,75
Varyans (kare):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Varyans ve Standart Sapma
İlişki
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Varyans (σ²)
- Birimler kareli (ör. cm², ₺²)
- Doğrudan yorumlaması daha zor
- Matematiksel işlemler için kullanışlı
- Bağımsız değişkenler için toplanabilir
Standart Sapma (σ)
- Orijinal veriyle aynı birim
- Yorumlaması daha kolay
- İletişim için daha iyi
- Z-skorları ve güven aralıklarında kullanılır
Varyansın Uygulamaları
Standart sapma daha yaygın olarak raporlansa da varyansın kendine özgü kullanım alanları vardır:
- ANOVA:Varyans Analizi gruplar arasındaki ortalamaları karşılaştırır
- Portföy Teorisi:Getiri varyansları optimizasyonda kullanılır
- Regresyon:R², açıklanan varyansın toplam varyansa bölünmesidir
- TBA:Temel Bileşen Analizi açıklanan varyansı maksimize eder