Weighted Standard Deviation

Ano ang Weighted Standard Deviation?

Kapag ang mga data point ay may iba't ibang antas ng kahalagahan o kumakatawan sa iba't ibang frequencies, gumagamit tayo ng weighted standard deviation. Karaniwan ito sa portfolio analysis, survey data na may sampling weights, at mga kalkulasyon ng GPA.

Sa karaniwang (unweighted) kalkulasyon, pantay ang kontribusyon ng bawat data point sa mean at standard deviation. Ngunit ang mga real-world na senaryo ay madalas na nangangailangan ng pagbibigay ng mas malaking impluwensya sa ilang obserbasyon kaysa sa iba. Ang $1 milyon na pamumuhunan ay dapat mas makaapekto sa volatility calculation ng iyong portfolio kaysa sa $1,000 na posisyon. Ang isang survey response mula sa mas malaking demographic group ay dapat may mas mabigat na timbang kapag tinatantya ang mga population parameters.

Ang Weighted SD Formula

Una, kailangan mo ng weighted mean:

Pagkatapos, ang weighted standard deviation (population version):

Kung saan wᵢ ang mga weight, xᵢ ang mga data value, at x̄w ang weighted mean.

Para sa sample data, gamitin ang bias-corrected formula (katulad ng Bessel’s correction):

Mas kumplikado ang sample correction dahil ang “effective sample size” ay depende sa distribusyon ng weights. Kung pantay ang lahat ng weights, nababawasan ito sa pamilyar na n-1 correction.

Step-by-Step na Kalkulasyon

Mga Aplikasyon sa Totoong Mundo

Portfolio Volatility: Sa pananalapi, ang portfolio standard deviation ay dapat isaalang-alang ang iba't ibang asset allocations. Ang volatility ng 50% stock, 50% bond portfolio ay kinakalkula gamit ang weighted SD kung saan ang weights ay ang allocation percentages.

Survey Analysis: Ang mga survey sample ay madalas na sobra o kulang ang representasyon ng ilang demographics. Ang weighting ay nag-a-adjust para dito, na tinitiyak na ang mga resulta ay sumasalamin sa tunay na population. Kinukuha ng weighted SD ang variability sa population, hindi lamang sa sample.

Academic Grading: Kapag kinakalkula ang GPA, iba-iba ang credit hours ng mga kurso. Ang isang 4-credit na kurso ay dapat may mas malaking impluwensya sa iyong GPA kaysa sa 1-credit na kurso. Natural na hinahandle ito ng weighted calculations.

Meta-Analysis: Kapag pinagsasama ang mga resulta mula sa maramihang pag-aaral, ang bawat pag-aaral ay tinitimbang ayon sa precision nito (madalas na inverse variance). Nagbibigay ito ng mas malaking impluwensya sa mas malalaki at mas tumpak na mga pag-aaral.

Mga Worked Examples

Halimbawa ng Portfolio: Isipin ang isang portfolio na may tatlong stock:

• Stock A: 15% return, 50% allocation (weight = 0.50)
• Stock B: 8% return, 30% allocation (weight = 0.30)
• Stock C: -2% return, 20% allocation (weight = 0.20)

Weighted mean = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%

Weighted SD = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%