Σ
SDCalc

Mga Formula at Pamamaraan

Malalimang pag-aaral sa matematika sa likod ng standard deviation.

Matematikal na Derivation

Sinusukat ng standard deviation ang pagkalat ng mga data point mula sa kanilang mean. Ito ay hinango sa pamamagitan ng pagkalkula ng square root ng average na squared deviation mula sa mean.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (populasyon)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Kalkulahin ang mean (μ o x̄) sa pamamagitan ng pagsusuma ng lahat ng halaga at paghahati sa bilang.
  2. 2Ibawas ang mean mula sa bawat data point upang mahanap ang deviation (xᵢ − μ).
  3. 3I-square ang bawat deviation upang alisin ang mga negatibong halaga (xᵢ − μ)².
  4. 4Isuma ang lahat ng squared deviation: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Hatiin sa N (populasyon) o n−1 (sample) upang makuha ang variance.
  6. 6Kunin ang square root ng variance upang makuha ang standard deviation.

Paliwanag ng Bessel's Correction

Kapag ine-estimate ang population variance mula sa isang sample, ang paghahati sa n ay gumagawa ng biased na estimate na sistematikong nag-underestimate ng tunay na variance. Ipinakita ni Friedrich Bessel na ang paghahati sa (n − 1) sa halip na n ay nagtatama ng bias na ito. Ang intuition ay ang isang sample na may laki na n ay may (n − 1) na degrees of freedom lamang dahil ang sample mean ay ginagamit na sa kalkulasyon, na naglilimita sa isa sa mga deviation.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← walang bias
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← may bias
  1. 1Sa n na data point, kapag alam na ang mean, (n − 1) na deviation lamang ang malayang makapag-iba.
  2. 2Ang paggamit ng n sa denominator ay may tendensiyang mag-underestimate ng population variance.
  3. 3Ang paggamit ng (n − 1) ay nagbibigay ng unbiased na estimator: E[s²] = σ².
  4. 4Para sa malalaking sample (n > 30), ang pagkakaiba ay halos hindi napapansin.
  5. 5Para sa maliliit na sample, ang correction ay maaaring malaki ang pagpapabuti sa estimate.

Visual na Gabay sa Kalkulasyon

Mas madaling maunawaan ang standard deviation gamit ang hakbang-hakbang na visual na paraan. Isaalang-alang ang data set na {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Ang mean ay 5.25. Bawat data point ay lumihis mula sa mean sa iba't ibang halaga. Ang pag-square ng mga deviation na ito, pagsusuma, paghahati sa (n − 1) = 7, at pagkuha ng square root ay nagbibigay ng sample standard deviation na s ≈ 2.49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Ilista ang lahat ng data value at kalkulahin ang kanilang mean: x̄ = 5.25.
  2. 2Hanapin ang bawat deviation: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3I-square ang bawat deviation: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625.
  4. 4Isuma ang mga squared deviation: 43.5.
  5. 5Hatiin sa (n−1) = 7: variance s² = 43.5/7 ≈ 6.21.
  6. 6Kunin ang square root: s ≈ 2.49.

Akademikong Citation

Kapag ginagamit ang kalkulador na ito sa akademikong gawain, maaari mo itong i-cite tulad ng sumusunod. Ginagamit ng kalkulador ang mga karaniwang formula para sa parehong population at sample standard deviation ayon sa mga introductory statistics textbook.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app