Vad är viktad standardavvikelse?
När datapunkter har olika grader av betydelse eller representerar olika frekvenser använder vi viktad standardavvikelse. Detta är vanligt inom portföljanalys, enkätdata med samplingsvikter och beräkning av medelbetyg.
I vanliga (oviktade) beräkningar bidrar varje datapunkt lika mycket till medelvärdet och standardavvikelsen. Men verkliga scenarier kräver ofta att vissa observationer ges mer inflytande än andra. En investering på 1 miljon kronor bör påverka din portföljs volatilitetsberäkning mer än en position på 1 000 kronor. Ett enkätsvar från en större demografisk grupp bör väga tyngre vid skattning av populationsparametrar.
När ska viktad SA användas
Formeln för viktad SA
Först behöver du det viktade medelvärdet:
Weighted Mean
Sedan beräknas den viktade standardavvikelsen (populationsversion):
Weighted Standard Deviation (Population)
Där wᵢ är vikterna, xᵢ är datavärdena och x̄w är det viktade medelvärdet.
För stickprovsdata, använd den biaskorrigerade formeln (analogt med Bessels korrektion):
Weighted Standard Deviation (Sample)
Stickprovskorrektionen är mer komplex eftersom den “effektiva stickprovsstorleken” beror på vikternas fördelning. Om alla vikter är lika reduceras detta till den välkända (n-1)-korrektionen.
Steg-för-steg-beräkning
Beräkna det viktade medelvärdet
Beräkna viktade kvadrerade avvikelser
Summera de viktade kvadrerade avvikelserna
Dividera med summan av vikterna
Ta kvadratroten
Tillämpningar i verkligheten
Portföljvolatilitet: Inom finans måste portföljens standardavvikelse ta hänsyn till olika tillgångsallokeringar. En portfölj med 50 % aktier och 50 % obligationer beräknar sin volatilitet med viktad SA där vikterna är allokeringsprocenten.
Enkätanalys: Enkätstickprov överrepresenterar eller underrepresenterar ofta vissa demografiska grupper. Viktning justerar för detta och säkerställer att resultaten speglar den verkliga populationen. Den viktade SA:en fångar variabiliteten i populationen, inte bara i stickprovet.
Akademisk betygssättning: Vid beräkning av medelbetyg har olika kurser olika poäng. En kurs med fler högskolepoäng bör påverka ditt snittbetyg mer än en kurs med färre poäng. Viktade beräkningar hanterar detta naturligt.
Metaanalys: Vid kombination av resultat från flera studier viktas varje studie efter sin precision (ofta invers varians). Detta ger mer inflytande åt större, mer precisa studier.
Genomarbetade exempel
Portföljexempel: Betrakta en portfölj med tre aktier:
- Aktie A: 15 % avkastning, 50 % allokering (vikt = 0,50)
- Aktie B: 8 % avkastning, 30 % allokering (vikt = 0,30)
- Aktie C: -2 % avkastning, 20 % allokering (vikt = 0,20)
Viktat medelvärde = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5 %
Viktad SA = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5 %
Notera effekten