Vad är varians?
Varians mäter hur utspridda en uppsättning tal är från sitt medelvärde. Det är genomsnittet av de kvadrerade skillnaderna från medelvärdet – och det utgör grunden som standardavvikelsen bygger på.
Varje stapel visar den kvadrerade avvikelsen från medelvärdet. Varians = genomsnittet av dessa staplar.
Variansformeln
Populationsvarians
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Stickprovsvarians
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Beräkna medelvärdet
Addera alla värden och dividera med antalet.
2
Hitta varje avvikelse
Subtrahera medelvärdet från varje datapunkt.
3
Kvadrera varje avvikelse
Detta eliminerar negativa värden och betonar stora avvikelser.
4
Beräkna genomsnittet av de kvadrerade avvikelserna
Dividera med N (population) eller n-1 (stickprov).
Varför kvadrerar vi avvikelserna?
Tre centrala skäl
1. Eliminera negativa värden: Utan kvadrering skulle positiva och negativa avvikelser ta ut varandra och summan bli noll.
2. Bestraffar outliers: Kvadrering ger mer vikt åt värden långt från medelvärdet.
3. Matematiska egenskaper: Varians har användbara algebraiska egenskaper för statistisk inferens.
Exempel: Varför inte bara använda absolutbelopp?
Datamängd: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Medelvärde = 5)
Medelabsolutavvikelse:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
MAD = 14/8 = 1,75
Varians (kvadrerad):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Varians vs standardavvikelse
Sambandet
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Varians (σ²)
- Enheterna är kvadrerade (t.ex. cm², kr²)
- Svårare att tolka direkt
- Användbar för matematiska operationer
- Additiv för oberoende variabler
Standardavvikelse (σ)
- Samma enheter som originaldata
- Enklare att tolka
- Bättre för kommunikation
- Används i z-poäng och konfidensintervall
Tillämpningar av varians
Medan standardavvikelse rapporteras oftare har varians specifika användningsområden:
- ANOVA:Variansanalys jämför medelvärden mellan grupper
- Portföljteori:Variansen av avkastning används vid optimering
- Regression:R² är förklarad varians dividerad med total varians
- PCA:Principalkomponentanalys maximerar förklarad varians