Σ
SDCalc

Formler & metodik

Fördjupning i matematiken bakom standardavvikelse.

Matematisk härledning

Standardavvikelsen mäter spridningen av datapunkter från deras medelvärde. Den härleds genom att beräkna kvadratroten av den genomsnittliga kvadrerade avvikelsen från medelvärdet.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (stickprov)
  1. 1Beräkna medelvärdet (μ eller x̄) genom att summera alla värden och dividera med antalet.
  2. 2Subtrahera medelvärdet från varje datapunkt för att hitta avvikelsen (xᵢ − μ).
  3. 3Kvadrera varje avvikelse för att eliminera negativa värden (xᵢ − μ)².
  4. 4Summera alla kvadrerade avvikelser: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Dividera med N (population) eller n−1 (stickprov) för att få variansen.
  6. 6Ta kvadratroten av variansen för att erhålla standardavvikelsen.

Bessels korrektion förklarad

Vid uppskattning av populationsvariansen från ett stickprov ger division med n en skev uppskattning som systematiskt underskattar den verkliga variansen. Friedrich Bessel visade att division med (n − 1) istället för n korrigerar denna skevhet. Intuitionen är att ett stickprov av storlek n bara har (n − 1) frihetsgrader eftersom stickprovsmedelvärdet redan används i beräkningen, vilket begränsar en av avvikelserna.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← väntevärdesriktig
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← skev
  1. 1Med n datapunkter, när medelvärdet är känt, kan bara (n − 1) avvikelser variera fritt.
  2. 2Att använda n i nämnaren tenderar att underskatta populationsvariansen.
  3. 3Att använda (n − 1) ger en väntevärdesriktig skattning: E[s²] = σ².
  4. 4För stora stickprov (n > 30) är skillnaden försumbar.
  5. 5För små stickprov kan korrektionen avsevärt förbättra uppskattningen.

Visuell beräkningsguide

Att förstå standardavvikelsen är enklare med ett steg-för-steg visuellt tillvägagångssätt. Betrakta datamängden {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Medelvärdet är 5,25. Varje datapunkt avviker från medelvärdet med olika belopp. Att kvadrera dessa avvikelser, summera dem, dividera med (n − 1) = 7 och ta kvadratroten ger stickprovets standardavvikelse s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Lista alla datavärden och beräkna deras medelvärde: x̄ = 5,25.
  2. 2Hitta varje avvikelse: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Kvadrera varje avvikelse: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Summera de kvadrerade avvikelserna: 43,5.
  5. 5Dividera med (n−1) = 7: varians s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Ta kvadratroten: s ≈ 2,49.

Akademisk citering

När du använder denna kalkylator i akademiskt arbete kan du citera den enligt följande. Kalkylatorn implementerar standardformlerna för både populations- och stickprovsstandardavvikelse enligt definitionen i inledande statistikläroböcker.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app