מהי סטיית תקן משוקללת?
כאשר לנקודות נתונים רמות חשיבות שונות או שהן מייצגות תדירויות שונות, משתמשים בסטיית תקן משוקללת. זה נפוץ בניתוח תיקי השקעות, נתוני סקרים עם משקלות דגימה וחישובי ממוצע ציונים.
בחישובים רגילים (לא משוקללים), כל נקודת נתונים תורמת באופן שווה לממוצע ולסטיית התקן. אולם תרחישים בעולם האמיתי דורשים לעתים קרובות מתן השפעה גדולה יותר לתצפיות מסוימות. השקעה של מיליון שקל צריכה להשפיע על חישוב תנודתיות התיק יותר מפוזיציה של אלף שקל. תשובת סקר מקבוצה דמוגרפית גדולה צריכה לשאת משקל רב יותר באומדן פרמטרי אוכלוסייה.
מתי להשתמש בסט“ת משוקללת
נוסחת סט“ת משוקללת
ראשית, נדרש הממוצע המשוקלל:
Weighted Mean
לאחר מכן, סטיית התקן המשוקללת (גרסת אוכלוסייה):
Weighted Standard Deviation (Population)
כאשר wᵢ הם המשקולות, xᵢ הם ערכי הנתונים, ו-x̄w הוא הממוצע המשוקלל.
לנתוני מדגם, השתמשו בנוסחה מתוקנת הטיה (אנלוגית לתיקון בסל):
Weighted Standard Deviation (Sample)
תיקון המדגם מורכב יותר כי “גודל המדגם האפקטיבי” תלוי בהתפלגות המשקולות. אם כל המשקולות שוים, הנוסחה מצטמצמת לתיקון n-1 המוכר.
חישוב שלב אחר שלב
חישוב הממוצע המשוקלל
חישוב סטיות ריבועיות משוקללות
סיכום הסטיות הריבועיות המשוקללות
חלוקה בסכום המשקולות
שורש ריבועי
יישומים בעולם האמיתי
תנודתיות תיק השקעות: בפיננסים, סטיית תקן של תיק חייבת להתחשב בהקצאות נכסים שונות. תנודתיות של תיק 50% מניות ו-50% אגרות חוב מחושבת באמצעות סט“ת משוקללת כאשר המשקולות הם אחוזי ההקצאה.
ניתוח סקרים: מדגמי סקרים לעתים קרובות מייצגים יתר או חסר קבוצות דמוגרפיות מסוימות. שקלול מתקן זאת ומבטיח שהתוצאות משקפות את האוכלוסייה האמיתית. סט“ת המשוקללת לוכדת את השונות באוכלוסייה, לא רק במדגם.
ציוני לימודים: בחישוב ממוצע ציונים, לקורסים שונים נקודות זכות שונות. קורס של 4 נקודות זכות צריך להשפיע על הממוצע שלכם יותר מקורס של נקודת זכות אחת. חישובים משוקללים מטפלים בזה באופן טבעי.
מטה-אנליזה: בשילוב תוצאות ממחקרים מרובים, כל מחקר משוקלל לפי הדיוק שלו (בדרך כלל שונות הפוכה). זה נותן יותר השפעה למחקרים גדולים ומדויקים יותר.
דוגמאות מפורטות
דוגמת תיק השקעות: נתון תיק עם שלוש מניות:
- מניה A: תשואה 15%, הקצאה 50% (משקל = 0.50)
- מניה B: תשואה 8%, הקצאה 30% (משקל = 0.30)
- מניה C: תשואה -2%, הקצאה 20% (משקל = 0.20)
ממוצע משוקלל = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%
סט“ת משוקללת = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%
שימו לב להשפעה