Σ
SDCalc

נוסחאות ומתודולוגיה

צלילה מעמיקה למתמטיקה שמאחורי סטיית תקן.

גזירה מתמטית

סטיית תקן מודדת את פיזור נקודות הנתונים מהממוצע שלהן. היא מתקבלת על ידי חישוב השורש הריבועי של ממוצע הסטיות בריבוע מהממוצע.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1חשבו את הממוצע (μ או x̄) על ידי סיכום כל הערכים וחלוקה בספירה.
  2. 2הפחיתו את הממוצע מכל נקודת נתונים כדי למצוא את הסטייה (xᵢ − μ).
  3. 3העלו כל סטייה בריבוע כדי לבטל ערכים שליליים (xᵢ − μ)².
  4. 4סכמו את כל הסטיות בריבוע: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5חלקו ב-N (אוכלוסייה) או ב-n−1 (מדגם) כדי לקבל את השונות.
  6. 6חלצו שורש ריבועי מהשונות כדי לקבל את סטיית התקן.

הסבר תיקון בסל

בעת אמידת שונות האוכלוסייה ממדגם, חלוקה ב-n מניבה אומדן מוטה שמעריך בחסר באופן שיטתי את השונות האמיתית. פרידריך בסל הראה שחלוקה ב-(n − 1) במקום ב-n מתקנת הטיה זו. האינטואיציה היא שלמדגם בגודל n יש רק (n − 1) דרגות חופש מכיוון שממוצע המדגם כבר שימש בחישוב, מה שמגביל אחת מהסטיות.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← לא מוטה
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← מוטה
  1. 1עם n נקודות נתונים, ברגע שהממוצע ידוע, רק (n − 1) סטיות חופשיות להשתנות.
  2. 2שימוש ב-n במכנה נוטה להעריך בחסר את שונות האוכלוסייה.
  3. 3שימוש ב-(n − 1) מספק אומדן לא מוטה: E[s²] = σ².
  4. 4עבור מדגמים גדולים (n > 30), ההבדל זניח.
  5. 5עבור מדגמים קטנים, התיקון יכול לשפר משמעותית את האומדן.

מדריך חישוב חזותי

הבנת סטיית תקן קלה יותר עם גישה חזותית שלב אחר שלב. נתבונן בקבוצת הנתונים {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. הממוצע הוא 5.25. כל נקודת נתונים סוטה מהממוצע בשיעור שונה. העלאה בריבוע של סטיות אלה, סיכומן, חלוקה ב-(n − 1) = 7, והוצאת שורש ריבועי נותנת את סטיית התקן של המדגם s ≈ 2.49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1רשמו את כל ערכי הנתונים וחשבו את הממוצע: x̄ = 5.25.
  2. 2מצאו כל סטייה: (4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3העלו כל סטייה בריבוע: 1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625.
  4. 4סכמו את הסטיות בריבוע: 43.5.
  5. 5חלקו ב-(n−1) = 7: שונות s² = 43.5/7 ≈ 6.21.
  6. 6הוציאו שורש ריבועי: s ≈ 2.49.

ציטוט אקדמי

בעת שימוש במחשבון זה בעבודה אקדמית, ניתן לצטט אותו כדלקמן. המחשבון מיישם את הנוסחאות הסטנדרטיות עבור סטיית תקן של אוכלוסייה ומדגם כפי שמוגדרות בספרי לימוד מבואיים בסטטיסטיקה.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app