נוסחת סטיית התקן מוסברת: מדריך מלא צעד אחר צעד

מהי נוסחת סטיית התקן?

נוסחת סטיית התקן היא המשוואה המתמטית המשמשת לכימות מידת השונות או הפיזור במערך של ערכי נתונים. סטיית תקן נמוכה מעידה על כך שנקודות הנתונים נוטות להיות קרובות לממוצע (μ או x̄), בעוד שסטיית תקן גבוהה מעידה על כך שנקודות הנתונים מפוזרות על פני טווח רחב יותר של ערכים.

בסטטיסטיקה, הנוסחה בה נשתמש תלויה בשאלה האם אנו עובדים עם אוכלוסייה שלמה או עם מדגם שנלקח מאוכלוסייה זו. הרעיון המרכזי כולל חישוב של ממוצע סטיות הריבוע מהממוצע, המכונה שונות (σ²), ולאחר מכן הוצאת שורש ריבועי כדי להחזיר את המדידה ליחידות המקוריות.

סטיית התקן של אוכלוסייה

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (סיגמה): סטיית התקן של האוכלוסייה
Σ (סיגמה גדולה): סכום של...
xi: כל ערך בודד במערך הנתונים
μ (מיו): ממוצע האוכלוסייה
N: מספר כלל הנקודות באוכלוסייה

סטיית תקן של אוכלוסייה לעומת מדגם

בניתוח נתונים בעולם האמיתי, נדיר שיש לנו נתונים על אוכלוסייה שלמה. לרוב, אנו אוספים מדגם כדי להסיק מסקנות על האוכלוסייה הגדולה יותר. מכיוון שמדגם משמש רק להערכת ממוצע האוכלוסייה, שימוש בנוסחת האוכלוסייה לחישוב סטיית התקן של מדגם יוביל להערכת חסר עקבית של השונות האמיתית. כדי לתקן הטיה זו, אנו משתמשים בנוסחת סטיית התקן של המדגם.

סטיית התקן של מדגם

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

אל תתבלבלו בין הנוסחאות!

שימוש ב-'N' עבור מדגם או ב-'n-1' עבור אוכלוסייה יוביל למדידה שגויה של הפיזור. הנוסחה למדגם עם n-1 מכונה תיקון בסל והיא נדרשת בהכרח לצורך אומדן חסר הטיה של שונות האוכלוסייה.

חישוב הנוסחה צעד אחר צעד

חישוב סטיית תקן באופן ידני דורש גישה שיטתית. על ידי ביצוע השלבים הבאים, תוכלו לחשב במדויק הן את סטיית התקן של האוכלוסייה והן את זו של המדגם עבור כל מערך נתונים.

חישוב הממוצע

סכמו את כל נקודות הנתונים (Σxi) וחלקו במספר הכולל של הנקודות (N או n) כדי למצוא את הממוצע (μ או x̄).

חישוב הסטיות מהממוצע

החסירו את הממוצע מכל נקודת נתונים בודדת כדי למצוא את הסטייה: (xi - ממוצע).

העלאת הסטיות בריבוע

העלו בריבוע כל אחת מהסטיות שחושבו בשלב הקודם: (xi - ממוצע)². פעולה זו מבטיחה שכל הערכים יהיו חיוביים.

סכימת סטיות הריבוע

חברו את כל סטיות הריבוע כדי למצוא את סכום הריבועים: Σ(xi - ממוצע)².

חלוקה ב-N או ב-n-1

עבור אוכלוסייה, חלקו ב-N. עבור מדגם, חלקו ב-(n - 1). פעולה זו נותנת לכם את השונות (σ² או s²).

הוצאת שורש ריבועי

הוציאו שורש ריבועי מהשונות כדי למצוא את סטיית התקן (σ או s).

מדוע נוסחת המדגם מחלקת ב-n-1?

חלוקה ב-n-1 במקום ב-n היא מושג המוכר כתיקון בסל. מכיוון שממוצע המדגם (x̄) מחושב מתוך נתוני המדגם עצמם, הסטיות (xi - x̄) מוגבלות מתמטית להסתכם לאפס. משמעות הדבר היא שנקודות הנתונים קרובות מעט יותר לממוצע המדגם מאשר לממוצע האוכלוסייה האמיתי (μ).

על ידי חלוקה ב-n-1 (המכונה דרגות חופש), אנו מנפחים את השונות בדיוק במידה הדרושה כדי לפצות על הערכת החסר הזו, ובכך מספקים אומדן חסר הטיה של שונות האוכלוסייה.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← מרכז למידה