נוסחת סטיית התקן מוסברת: מדריך מלא צעד אחר צעד

רוצים לשלוט בנוסחת סטיית התקן? במדריך המלא נלמד צעד אחר צעד כיצד לחשב, מה ההבדל בין נוסחת מדגם לאוכלוסייה, וכיצד ליישם את הנוסחה בפועל בניתוח נתונים.

By Standard Deviation Calculator Team · Data Science Team·Published 16 באפריל 2026

מהי נוסחת סטיית התקן?

נוסחת סטיית התקן היא המשוואה המתמטית המשמשת לכימות מידת השונות או הפיזור במערך של ערכי נתונים. סטיית תקן נמוכה מעידה על כך שנקודות הנתונים נוטות להיות קרובות לממוצע (μ או x̄), בעוד שסטיית תקן גבוהה מעידה על כך שנקודות הנתונים מפוזרות על פני טווח רחב יותר של ערכים.

בסטטיסטיקה, הנוסחה בה נשתמש תלויה בשאלה האם אנו עובדים עם אוכלוסייה שלמה או עם מדגם שנלקח מאוכלוסייה זו. הרעיון המרכזי כולל חישוב של ממוצע סטיות הריבוע מהממוצע, המכונה שונות (σ²), ולאחר מכן הוצאת שורש ריבועי כדי להחזיר את המדידה ליחידות המקוריות.

סטיית התקן של אוכלוסייה

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (סיגמה): סטיית התקן של האוכלוסייה
Σ (סיגמה גדולה): סכום של...
xi: כל ערך בודד במערך הנתונים
μ (מיו): ממוצע האוכלוסייה
N: מספר כלל הנקודות באוכלוסייה

סטיית תקן של אוכלוסייה לעומת מדגם

בניתוח נתונים בעולם האמיתי, נדיר שיש לנו נתונים על אוכלוסייה שלמה. לרוב, אנו אוספים מדגם כדי להסיק מסקנות על האוכלוסייה הגדולה יותר. מכיוון שמדגם משמש רק להערכת ממוצע האוכלוסייה, שימוש בנוסחת האוכלוסייה לחישוב סטיית התקן של מדגם יוביל להערכת חסר עקבית של השונות האמיתית. כדי לתקן הטיה זו, אנו משתמשים בנוסחת סטיית התקן של המדגם.

סטיית התקן של מדגם

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

אל תתבלבלו בין הנוסחאות!

שימוש ב-'N' עבור מדגם או ב-'n-1' עבור אוכלוסייה יוביל למדידה שגויה של הפיזור. הנוסחה למדגם עם n-1 מכונה תיקון בסל והיא נדרשת בהכרח לצורך אומדן חסר הטיה של שונות האוכלוסייה.

חישוב הנוסחה צעד אחר צעד

חישוב סטיית תקן באופן ידני דורש גישה שיטתית. על ידי ביצוע השלבים הבאים, תוכלו לחשב במדויק הן את סטיית התקן של האוכלוסייה והן את זו של המדגם עבור כל מערך נתונים.

חישוב הממוצע

סכמו את כל נקודות הנתונים (Σxi) וחלקו במספר הכולל של הנקודות (N או n) כדי למצוא את הממוצע (μ או x̄).

חישוב הסטיות מהממוצע

החסירו את הממוצע מכל נקודת נתונים בודדת כדי למצוא את הסטייה: (xi - ממוצע).

העלאת הסטיות בריבוע

העלו בריבוע כל אחת מהסטיות שחושבו בשלב הקודם: (xi - ממוצע)². פעולה זו מבטיחה שכל הערכים יהיו חיוביים.

סכימת סטיות הריבוע

חברו את כל סטיות הריבוע כדי למצוא את סכום הריבועים: Σ(xi - ממוצע)².

חלוקה ב-N או ב-n-1

עבור אוכלוסייה, חלקו ב-N. עבור מדגם, חלקו ב-(n - 1). פעולה זו נותנת לכם את השונות (σ² או s²).

הוצאת שורש ריבועי

הוציאו שורש ריבועי מהשונות כדי למצוא את סטיית התקן (σ או s).

מדוע נוסחת המדגם מחלקת ב-n-1?

חלוקה ב-n-1 במקום ב-n היא מושג המוכר כתיקון בסל. מכיוון שממוצע המדגם (x̄) מחושב מתוך נתוני המדגם עצמם, הסטיות (xi - x̄) מוגבלות מתמטית להסתכם לאפס. משמעות הדבר היא שנקודות הנתונים קרובות מעט יותר לממוצע המדגם מאשר לממוצע האוכלוסייה האמיתי (μ).

על ידי חלוקה ב-n-1 (המכונה דרגות חופש), אנו מנפחים את השונות בדיוק במידה הדרושה כדי לפצות על הערכת החסר הזו, ובכך מספקים אומדן חסר הטיה של שונות האוכלוסייה.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← מרכז למידה

How to Read This Article

A statistics tutorial is a practical interpretation guide, not just a formula dump. It refers to the assumptions, notation, and reporting language that analysts need when they explain a result to a teacher, manager, client, or reviewer. The article body covers the specific topic, while the sections below create a common interpretation frame that readers can reuse across related metrics.

Reading goal	What to focus on	Common mistake
Definition	What the metric is and what quantity it summarizes	Treating the formula as self-explanatory
Formula choice	Sample versus population assumptions and notation	Using n when n-1 is required or vice versa
Interpretation	Whether the result indicates concentration, spread, or risk	Calling a large value good or bad without context

Frequently Asked Questions

How should I interpret a high standard deviation?

A high standard deviation means the observations are spread farther from the mean on average. Whether that spread is acceptable depends on the context: wide dispersion might signal risk in finance, instability in manufacturing, or genuine natural variation in scientific data.

Why do some articles mention n while others mention n-1?

The denominator reflects the difference between population and sample formulas. Population variance and population standard deviation use N because the full dataset is known. Sample variance and sample standard deviation often use n-1 because Bessel’s correction reduces bias when estimating population spread from a sample.

What is a statistical interpretation guide?

A statistical interpretation guide is a page that moves beyond arithmetic and explains meaning. It tells you what a metric is, when the formula applies, and how to describe the result in plain English without overstating certainty.

Can I cite this article in a report?

You should cite the underlying authoritative reference for formal work whenever possible. This page is best used as an explanatory bridge that helps you understand the concept before quoting the original standard or handbook.

Why include direct citations on every article page?

Direct citations give readers a route to verify the definition, notation, and assumptions. That improves trust and reduces the chance that a simplified explanation is mistaken for the entire technical standard.

Authoritative References

These sources define the concepts referenced most often across our articles. Bessel's correction is a sample adjustment, variance is a squared measure of spread, and standard deviation is the square root of variance expressed in the same units as the data.