סטיית תקן משותפת למספר קבוצות

מהי סטיית תקן משותפת?

סטיית תקן משותפת משלבת אומדני שונות משתי קבוצות או יותר לקבלת אומדן יחיד משוקלל. היא חיונית למבחני t לשני מדגמים כאשר מניחים שונויות שוות.

הרעיון פשוט: אם אנו מאמינים ששתי קבוצות מגיעות מאוכלוסיות עם שונות בסיסית זהה, נוכל לשלב את נתוניהן כדי לקבל אומדן טוב יותר של שונות משותפת זו. יותר נתונים פירושם אומדן מדויק יותר.

חשבו על זה כך: אם יש לכם 20 תצפיות מקבוצה A ו-30 מקבוצה B, ולשתי הקבוצות אותה שונות אמיתית, כעת יש לכם 50 תצפיות לאמוד את השונות במקום לאמוד אותה בנפרד ממדגמים קטנים יותר.

נוסחת סט“ת משותפת

לשתי קבוצות, סטיית התקן המשותפת היא:

כאשר n₁ ו-n₂ הם גדלי המדגמים, ו-s₁ ו-s₂ הן סטיות התקן של המדגמים.

ל-k קבוצות (כמו ב-ANOVA), הנוסחה מוכללת:

שימו לב שהנוסחה משתמשת באיברי (n-1) הן במונה והן במכנה. משקל זה מבטיח שמדגמים גדולים יותר תורמים יותר לאומדן המשותף, מה שמתאים כי מדגמים גדולים מספקים אומדני שונות אמינים יותר.

הנחות בסיסיות

סטיית תקן משותפת מניחה הומוגניות שונויות — שלכל הקבוצות אותה שונות אוכלוסייתית. הנחה זו חשובה במיוחד כאשר:

• גדלי המדגמים אינם שווים (בעייתי במיוחד אם לקבוצה הגדולה שונות קטנה יותר)
• היחס בין השונות הגדולה לקטנה ביותר עולה על 2-3
• גדלי המדגמים קטנים (מדגמים גדולים עמידים יותר להפרות)

דוגמה מפורטת

תרחיש: השוואת ציוני מבחן בין שתי כיתות:

• כיתה A: n₁ = 25, ממוצע = 78, s₁ = 12
• כיתה B: n₂ = 30, ממוצע = 82, s₂ = 14

חישוב סט“ת משותפת:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172.45 = 13.13

סט“ת המשותפת של 13.13 נופלת בין סטיות התקן הפרטניות (12 ו-14), עם נטייה לכיוון המדגם הגדול יותר. ערך משותף זה ישמש לאחר מכן בנוסחת מבחן t או בחישוב d של כהן.

יישומים סטטיסטיים

• מבחן t למדגמים בלתי תלויים: סט“ת המשותפת משמשת לחישוב שגיאת התקן של ההפרש בין ממוצעים.
• גודל אפקט d של כהן: גדלי אפקט מנורמלים באמצעות סט“ת משותפת: d = (M₁ - M₂) / sp
• ANOVA: ריבוע הממוצע של השגיאה (MSE) ב-ANOVA הוא למעשה אומדן שונות משותפת על פני כל הקבוצות.
• מטה-אנליזה: בשילוב מחקרים, אומדנים משותפים מסייעים לנרמל אפקטים בהקשרים שונים.